3. Całka

Funkcja pierwotna F(x) danej funkcji  y=f(x) - to taka funkcja, której pochodna równa jest  f(x) lub, co jest równoważne, której różniczka równa jest  f(x)dx. 


  \( \displaystyle F`( x) =\frac{dF( x)}{dx} =f( x) \)    lub    \( \displaystyle F`( x) =f( x) \ dx \) (1)


Wiemy, że pochodna stałej równa jest zeru. Wynika z tego, że dla dowolnej stałej C mamy


  \( \displaystyle [ F( x) +C] `=F`( x) +\overbrace{C`}^{0} =F`( x) \) (2)


Jeśli więc funkcja \( F(x) \) jest funkcją pierwotną danej funkcji \( f(x) \), to każda funkcja różniąca się od \( F(x) \) o stałą wartość jest także funkcją pierwotną funkcji \( f(x) \). Funkcja \( f(x) \) ma więc nieskończenie wiele funkcji pierwotnych różniących się o wartość dowolnej stałej. 


Na rysunku obok krzywe F1(x) i F2(x) są identyczne z krzywą F(x)  i  otrzymane są przez równoległe przesuniecie krzywej F(x) wzdłuż osi Y o odcinki odpowiednio C1 i C2. Wszystkie trzy krzywe są funkcjami pierwotnymi danej funkcji f(x).


Zbiór wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji  f(x) nazywamy całką nieoznaczoną  funkcji  f(x), co zapisujemy w postaci. 


  \( \displaystyle \int f( x) dx=F( x) +C \) (3)


Mówimy, że całkę wyznaczamy z dokładnością do stałej dowolnej, którą nazywamy stałą całkowania


Kilka przykładów podstawowych całek (pominięto stałą całkowania)
\( \displaystyle \int x^{n} dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} ,\ n\neq -1 \)
 \( \displaystyle \int e^{x} \ dx=e^{x} \)
\( \displaystyle \int \frac{dx}{x} =ln\ | x| \)
 \( \displaystyle \int a^{x} \ dx=\frac{a^{x}}{ln\ a} \ ,\ \ a >0,\ a\neq 1 \)
\( \displaystyle \int sin\ x\cdot dx=-cos\ \)
 \( \displaystyle \int cos\ x\cdot dx=sin\ x \)
\( \displaystyle \int tg\ x\cdot dx=-ln\ | cos\ x| \)
 \( \displaystyle \int ctg\ x\cdot dx=ln\ |\ sin\ x\ | \)

Podstawowe reguły całkowania


1.Stały czynnik ( c ) można wynieść przed znak całki
Wzór:\( \displaystyle \int c\cdot f( x) \ dx=c\cdot \int f( x) \ dx \)
Przykład:\( \displaystyle \int 5x^{2} \ dx\ =5\cdot \int x^{2} \ dx=5\cdot \frac{x^{3}}{3} +C=\frac{5}{3} \cdot x^{3} +C \)
 
2.Całka sumy (lub różnicy) funkcji równa jest sumie (lub różnicy) całek poszczególnych składników
Wzór:

\( \displaystyle \int ( u+v-w) dx=\int u\ dx+\int v\ dx-\int w\ dx \)

Przykład: \( \displaystyle \int \left( x^{2} +x+1\right) dx=\int x^{2} \ dx+\int x\ dx+\int dx=\frac{x^{3}}{3} +\frac{x^{2}}{2} +x+C \)
 
3.

Całkowanie metodą podstawienia

Wzór:\( \displaystyle \int f( x) \ dx=\int f[ g( t)] \cdot g`( t) \ dt \)
Przykład:\( \displaystyle \int \sqrt{a^{2} +x^{2}} \cdot x\ dx \)    ( \( a \)- stała);        podstawiamy:  \( \displaystyle t^{2} =a^{2} +x^{2} \)   

różniczkując otrzymujemy: \( \displaystyle 2\cdot t\cdot dt=2\cdot x\cdot dx \) lub \( \displaystyle x\cdot dx=t\cdot dt \)

Mamy więc: \( \displaystyle \int \sqrt{a^{2} +x^{2}} \cdot x\cdot dx=\int t^{2} \ dt=\frac{t^{3}}{3} +C=\frac{\left( a^{2} +x^{2}\right)^{3/2}}{3} +C \)

 
4.

Całkowanie przez części  

Wzór:

\( \displaystyle \int u\ dv=u\cdot v-\int v\ du \)

Przykład: \( \displaystyle \int x\cdot sin\ x\ dx \) ; przyjmujemy:  \( \displaystyle u=x,\ dv=sin\ x\cdot dx \)  czyli   \( \displaystyle du=dx,\ v=-cos\ x \), 

otrzymujemy: \( \displaystyle \int \overbrace{x}^{u} \cdot \overbrace{sin\ x\ dx}^{dv} =\overbrace{-cos\ x}^{v} \cdot \overbrace{x}^{u} -\int \overbrace{-cos\ x}^{v} \ \overbrace{dx}^{du} =-x\cdot cos\ x+sin\ x+C \)

 

Całka oznaczona

Z definicji (1) wynika, że różnica funkcji pierwotnych wyznaczonych dla dwóch wartości a i b zmiennej x może być wyznaczona jako suma nieskończenie wielu różniczek \( \displaystyle dF( x) =f( x) \ dx \). Suma taka,  to całka oznaczona funkcji \( f(x) \)w przedziale od granicy dolnej, a do granicy górnej b i może być zapisana jest w postaci


  \( \displaystyle F( b) -F( a) =\int\limits ^{b}_{a} f( x) \ dx \) (4)


Wzór (4) wyraża  podstawowe twierdzenie rachunku całkowego, umożliwiające wyrażenie całki oznaczonej przez nieoznaczoną. Dla wyznaczenia całki oznaczonej w granicach od a do b należy znaleźć funkcję pierwotną \( F(x) \) danej funkcji \( f(x) \), wyznaczyć wartości tej funkcji w punktach x=a oraz x=b, a następnie obliczyć różnicę \( F(b)-F(a) \). W rezultacie odejmowania stała całkowania redukuje się, więc nie występuje przy obliczaniu całek oznaczonych. 



Rys 1. Geometryczna interpretacja całki oznaczonej.
 Wyrażenie \( f(x) dx \) reprezentowane jest przez pole elementarnego paska o szerokości \( dx \) i wysokości \( y(x) \), zaś całka oznaczona (4) równa jest polu figury pod krzywą \( y=f(x) \) i ograniczonej rzędnymi w punktach \( y(a) \) oraz \( y(b) \). Przy zamianie granic całkowania w wyrażeniu (2) znak całki zmienia się na przeciwny. 


Jako poglądowy przykład obliczmy całkę oznaczoną  funkcji y=x w granicach od x=1 do x=2 .


\( \displaystyle \int\limits ^{2}_{1} x\ dx=\begin{array}{ c|} x^{2}\\ \hline 2 \end{array}^{2}_{1} =\frac{2^{2}}{2} -\frac{1^{2}}{2} =\frac{3}{2} \)


Otrzymana wartość, to pole figury pokazanej na rysunku kolorem jasno-zielonym.