Przypomnienie wiadomości o wektorach, pochodnych i całkach
2. Pochodna
Pochodna funkcji \( y=f(x) \) określona jest jako granica stosunku przyrostu funkcji \( y \) do odpowiadającego mu przyrostu zmiennej niezależnej \( x \), gdy przyrost \( \Delta x \) dąży do zera.
| \( \displaystyle f^{`}( x) =\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\frac{f( x+\Delta x) -f( x)}{\Delta x} \) | (1.3.) |
Pochodna funkcji \( y=f(x) \) jest także funkcją \( x \) i oznaczana jest symbolami: \( \displaystyle f^{`}( x) \) lub \displaystyle y^{`} lub \( \displaystyle \frac{dy}{dx} \). (Oczywiście zauważamy, że w tym przypadku litera \( d \)nie jest zmienną, tylko symbolicznym oznaczeniem; zapis \displaystyle \frac{dy}{dx} czytamy "de y po de x").
 |
Rys 1. Geometryczna interpretacja pochodnej. Wartość pochodnej funkcji w danym punkcie, równa jest tangensowi kąta pomiędzy osią X, a styczną do krzywej \( y=f(x) \) w punkcie o współrzędnych (x,y). Kąt ten liczy się od dodatniej półosi X w kierunku przeciwnym ruchowi wskazówek zegara. Funkcja pokazana jest krzywą koloru niebieskiego; styczna pokazana jest kolorem czerwonym. |
Różniczka \( dx \) zmiennej niezależnej \( x \) - to przyrost tej funkcji tj. \( dx= \Delta x \) (Przyrost ten może mieć dowolną wartość dodatnią lub ujemną).
Różniczka \( dy \) funkcji \( y=f(x) \) w danym punkcie - to iloczyn pochodnej \displaystyle f^{`}( x) pomnożonej przez różniczkę zmiennej niezależnej \( dx \)
| \( \displaystyle dy=f^{`}( x) \cdot dx \) | (1.3.) |
Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych \( \displaystyle y=f( x_{1} ,x_{2} ,x_{3} ,...x_{i} ,...) \) względem jednej ze zmiennych, np. \( \displaystyle x_{i} \) określona jest wzorem
| \( \displaystyle \frac{\partial y}{\partial x_{i}} =\lim _{\Delta x_{i}\rightarrow 0}\frac{f( x_{1} ,x_{2} ,x_{3} ,...x_{i} +\Delta x_{i} ,...) -f( x_{1} ,x_{2} ,x_{3} ,...x_{i} ,...)}{\Delta x_{i}} \) | (1.3.) |
Przyrost dotyczy tu tylko jednej ze zmiennych niezależnych, zaś pozostałe zmienne są w tym przypadku stałe. Pochodne cząstkowe oblicza się zgodnie z regułami obliczania pochodnych jednej zmiennej, traktując pozostałe zmienne jak stałe. (Zauważmy, że w przypadku pochodnych cząstkowych używamy innego symbolu oznaczenia pochodnej pisząc \( \displaystyle \frac{\partial y}{\partial x_{i}} \) .)
Obliczanie pochodnych funkcji nazywamy różniczkowaniem.
| Kilka przykładów pochodnych funkcji elementarnych | ||||
| Funkcja | Pochodna funkcji | Funkcja | Pochodna funkcji | |
| \( const \) | 0 | x | 1 | |
| \( \displaystyle x^{n} \) | \( \displaystyle n\cdot x^{n-1} \) | \( \displaystyle \frac{1}{x} \) | \( \displaystyle -\frac{1}{x^{2}} \) | |
| \( \displaystyle \sqrt{x} \) | \( \displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}} \) | \( \displaystyle ln\ | x| \) | \( \displaystyle \frac{1}{x} \) | |
| \( \displaystyle e^{x} \) | \( \displaystyle e^{x} \) | \( \displaystyle a^{x} \) | \( \displaystyle a^{x} \cdot ln\ \) | |
| \( sin x \) | \( cos x \) | \( cos x \) | \( - sin x \) | |
| \( tg x \) | \( \displaystyle \frac{1}{cos^{2} \ x} =1+tg^{2} \ x \) | \( ctg x \) | \( \displaystyle -\frac{1}{sin^{2} \ x} =-\left( 1+ctg^{2} \ x\right) \) | |
Reguły różniczkowania
(Uwaga: Przez \( u, v, w, ... \) oznaczamy funkcje zmiennej \( x \))
| 1. | Pochodna (lub różniczka) algebraicznej sumy funkcji równa jest algebraicznej sumie pochodnych tych funkcji liczonych dla każdej funkcji oddzielnie, tj. |
| Wzór: | \( \displaystyle ( u+v-w) `=u`+v`-w` \) , \( \displaystyle d( u+v-w) =du+dv-dw \) |
| Przykład: | \( \displaystyle y=\overbrace{x^{3}}^{u} -\overbrace{x^{2}}^{v} +\overbrace{4\cdot x}^{w} -\overbrace{2}^{t} \) , \( \displaystyle y`=\overbrace{3x^{2}}^{u`} -\overbrace{2x}^{v`} +\overbrace{4}^{w`} -\overbrace{0}^{t`} =3x^{2} -2x+4 \) |
| 2. | Pochodna (lub różniczka) iloczynu funkcji równa jest takiej sumie iloczynów, że w każdym jej składniku jeden z czynników zastępowany jest swą pochodną. Dla iloczynu dwóch funkcji mamy: |
| Wzór: | \( \displaystyle ( u\cdot v) `=u`\cdot v+u\cdot v` \) , \( \displaystyle d( u\cdot v) =v\cdot du+v\cdot dv \) |
| Przykład: | \( \displaystyle y=\overbrace{( 1-4x)}^{u} \cdot \overbrace{( 2x-3)}^{v} \), \( \displaystyle y`=\overbrace{-4}^{u`} \cdot \overbrace{( 2x-3)}^{v} +\overbrace{( 1-4x)}^{u} \cdot \overbrace{2}^{v`} =-8x+12+2-8x=2\cdot ( 7-8x) \) |
| 3. | Stały czynnik ( c ) można wynieść przed znak pochodnej (lub różniczki) |
| Wzór: | \( \displaystyle ( c\cdot u) `=c\cdot u` \) , \( \displaystyle d( c\cdot u) =c\cdot du \) |
| Przykład: | \( \displaystyle y=\frac{1}{4} \cdot x^{4} \) , \( \displaystyle y`=\frac{1}{4} \cdot \left( x^{4}\right) `=\frac{1}{4} \cdot \left( 4x^{3}\right) =x^{3} \) |
| 4. | Pochodna (lub różniczka) ilorazu funkcji: |
| Wzór: | \( \displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)^{`} =\frac{v\cdot u`-u\cdot v`}{v^{2}} \) , \( \displaystyle d\left(\frac{u}{v}\right) =\frac{v\cdot du-u\cdot dv}{v^{2}} \) |
| Przykład: | \( \displaystyle y=\frac{\overbrace{1+x}^{u}}{\underbrace{1-x}_{v}} \) , \( \displaystyle y`=\frac{\overbrace{( 1-x)}^{v} \cdot \overbrace{1}^{u`} -\overbrace{( 1+x)}^{u} \cdot \overbrace{( -1)}^{v`}}{\underbrace{( 1-x)^{2}}_{v^{2}}} =\frac{2}{( 1-x)^{2}} \) , \( przy x \neq1 \) |
| 5. | Pochodna funkcji złożonej, tj. \( y=f(u) \) gdy a \( u=g(x) \): |
| Wzór: | \( \displaystyle \frac{dy}{dx} =f`( u) \cdot g`( x) \) |
| Przykład: | \( \displaystyle y=\sqrt{1+x^{2}} \); tj. \( \displaystyle y=f( u) =\sqrt{x} \); \( \displaystyle u=g( x) =1+x^{2} \) \( \displaystyle f`( u) =\frac{1}{2\sqrt{u}} \); \( \displaystyle g`( x) =2x \); \( \displaystyle y`=\frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \) |
| 5. | Pochodna cząstkowa funkcji wielu zmiennych tj. gdy \( \displaystyle y=f( x_{1} ,x_{2} ,x_{3} ,...x_{i} ,...) \) |
| Wzór: | Stosujemy te same wzory jak dla jednej zmiennej traktując wszystkie zmienne po których pochodna nie jest obliczana jako stałe. |
| Przykład: | Objętość walca \( V \) jest funkcją dwóch zmiennych: promienia \( r \) i wysokości \( h \). Mamy więc zależność \( V=f(r,h) \). Obliczmy pochodną objętości walca względem promienia i względem wysokości. \( \displaystyle V=\pi \cdot r^{2} \cdot h\ ,\ \ \ \ \frac{\partial V}{\partial r} =2\cdot \pi \cdot r\cdot h\ ,\ \ \ \ \frac{\partial V}{\partial r} =\pi \cdot r^{2} \) Jaka treść zawarta jest w tych postaciach pochodnych cząstkowych? |
Fizyczna interpretacja pochodnej.
Rozpatrzmy zależność jakiejś wielkości fizycznej od czasu ( t ); np. położenia ( x ) ciała poruszającego się ruchem zmiennym po linii prostej (samochodu na szosie). Pochodna oznacza tu szybkość zmiany danej wielkości fizycznej w czasie. Kiedy rozpatrujemy zmianę w czasie położenia ciała, to pochodna (dx/dt) jest prędkością chwilową ciała.| Wykonaj teraz test, który pozwoli Ci zrozumieć pojęcie prędkości chwilowej ciała, jako pochodnej położenia względem czasu oraz przyspieszenia, jako pochodnej prędkości względem czasu. | |
 |
Niebieska krzywa pokazuje zależność położenia od czasu samochodu, który porusza się na prostoliniowym odcinku szosy. Na trasie samochodu zaznaczono szereg punktów oznaczonych literami: a, b, c, d, e. Odpowiedz:
|