3. Dynamika

Zadanie 11 (zasada zachowania momentu pędu)

Gwiazda o masie \( M \) i promieniu \( R \) obraca się z prędkością kątową \( \omega_1 \). Jak zmieni się energia kinetyczna gwiazdy, jeśli jej promień zmaleje dwukrotnie? Założyć, że gwiazda jest kulą i jej masa nie uległa zmianie.

Rozwiązanie

Moment bezwładności gwiazdy (kuli) na początku:

\( I_1=\frac{2}{5}M· R^2 \)

{Moment bezwładności I_1 równa się iloczynowi ułamka dwie piąte, masy M i kwadratu promienia R}

Moment bezwładności gwiazdy po skurczeniu:

\( I_2=\frac{2}{5}M· (\frac{R^2}{2}) = \frac{M \cdot R^2 }{10} \)

{Moment bezwładności I_2 równa się iloczynowi ułamka dwie piąte, masy M i kwadratu połowy promienia R, a to się równa iloczynowi masy M i kwadratu promienia R podzielonemu przez 10}

Moment bezwładności gwiazdy zmalał czterokrotnie.

\( I_2=\frac{1}{4}\cdot I_1 \)

{Moment bezwładności I_2 równa się iloczynowi ułamka jedna czwarta oraz momentu bezwładności I_1}

Korzystamy z zasady zachowania momentu pędu:

\( {\vec{L}}_1={\vec{L}}_2 \)

{Wektor momentu pędu L_1 równa się wektorowi momentu pędu L_2}

gdzie

\( {\vec{L}}_1=I_1·ω_1 \)

{wektor momentu pędu L_1 jest równy iloczynowi momentu bezwładności I_1 i wektora prędkości kątowej omega 1}

\( {\vec{L}}_2=I_2·ω_2 \)

{wektor momentu pędu L_2 jest równy iloczynowi momentu bezwładności I_2 i wektora prędkości kątowej omega 2}

Stąd:

\( I_1·ω_1= \frac{l_1 \cdot \omega_2 }{4} \)

{Iloczyn momentu bezwładności I_1 i prędkości kątowej omega 1 jest równy iloczynowi momentu bezwładności I_1 i prędkości kątowej omega 2 podzielonemu przez cztery}

czyli

\( \omega_2=4\cdot\omega_1 \)

{Prędkość kątowa omega 2 jest 4 razy większe od prędkości kątowej omega 1}

Energia kinetyczna ruchu obrotowego gwiazdy w każdym z przypadków wynosiła:

\( E_1=\frac{1}{2}I_1·ω_{1}{^2} \)

{Energia E_1 jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności I_1 i kwadratu prędkości kątowej omega 1}

oraz

\( E_2=\frac{1}{2}I_2·ω_2{^2}=2I_1·ω_1{^2} \)

{Energia E_2 jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności I_2 i kwadratu prędkości kątowej omega 2, a to równa się podwojonemu iloczynowi momentu bezwładności I_1 i kwadratu prędkości kątowej omega 1}

Ostatecznie:

\( E_2=4\cdot E_1 \)

{Energia E_2 równa się iloczynowi 4 i energii E_1}

Energia kinetyczna wzrosła 4 razy.