3. Dynamika

Zadanie 10 (zderzenie centralne)

Dwie kule o masach \( m \) - niebieska i \( M \) - czerwona zderzają się centralnie, niesprężyście.

{Początkowo kula czerwona o masie m_1 porusza się w prawo z prędkością v_1, a kulka niebieska o masie m_2 porusza się w lewo z prędkością v_2. Po zderzeniu obie kulki razem poruszają się w prawo z prędkością v_x}

Wiadomo, że energia kinetyczna kuli niebieskiej jest n razy większa od energii kinetycznej kuli czerwonej. Jaki musi być stosunek mas \( M/m \), aby po zderzeniu obie poruszały się w kierunku ruchu tej z kul która miała mniejszą energię?

Rozwiązanie:

Zderzenie jest centralne, a to znaczy, że wektory prędkości i pędów obu kul leżą na prostej przechodzącej przez środki tych kul. Zderzenie jest doskonale niesprężyste, a więc dla układu izolowanych kul spełniona jest zasada zachowania pędu.

\( M\cdot\vec{V}+m\cdot\vec{v}=\left(m+M\right)\cdot{\vec{v}}_x \)

{Suma iloczynu masy m_1 i wektora prędkości v_1 oraz iloczynu masy m_2 i wektora prędkości v_2 równa się iloczynowi sumy mas m_1 i m_2 przez wektor prędkości v_x}

Prawo zachowania pędu jest prawem wektorowym, w przypadku zderzenia centralnego sprowadza się do jednego równania skalarnego:

\( M\cdot V-m\cdot v=\left(m+M\right)\cdot v_x \)

{Różnica iloczynu masy m_1 i prędkości v_1 oraz iloczynu masy m_2 i prędkości v_2 równa się iloczynowi sumy mas m_1 i m+2 przez prędkość v_x}

gdzie za pomocą znaków „+” i „-” uwzględnione są przeciwne zwroty wektorów prędkości kulek przed ich zderzeniem.

Po zderzeniu niesprężystym obie kulki poruszają się z prędkością:

\( v_x=\frac{M\cdot V-m\cdot v}{m+M} \)

{Prędkość v_x jest równa różnicy iloczynu masy m_1 i prędkości v_1 oraz iloczynu masy m_2 i prędkości v_2 przez sumę mas m_1 i m_2}

w kierunku ruchu tej z kul która miała przed zderzeniem mniejszą energię.

Kierunek ruchu obu kulek jest taki jaki miała kulka o mniejszej energii kinetycznej.

Warunek na iloraz \( M/m \) otrzymamy rozwiązując nierówność: \( v_x > 0 \) {prędkość v_x jest większa od zera}, przy uwzględnieniu, że

\( \frac{m\cdot v^2}{2}=n\cdot\frac{M\cdot V^2}{2} \)

{Połowa iloczynu masy m_2 i kwadratu prędkości v_2 jest równa iloczynowi n przez połowę iloczynu masy m_1i kwadratu prędkości v_1}