3. Dynamika

Zadanie 8 (energia i praca)

Z jakim przyspieszeniem porusza się masa \( m \):

a)    swobodnie w dół równi,

b)    w górę równi?

Współczynnik tarcia między ciałem o masie \( m \) i równią wynosi \( \mu \) {mi} oraz \( tg\alpha>µ \) {tangens kąta alfa jest większy od współczynnika tarcia mi}. Przy rozwiązywaniu tego zadania należy zastosować zasadę zachowania energii.

Rozwiązanie:

a)   Masa \( m \) porusza się w dół równi z przyspieszeniem a, jej energia kinetyczna wzrasta, energia potencjalna maleje. Bilans energii uzupełnia praca siły tarcia.

{Na równi leży ciało o masie m. Na masę działają 3 siły. Siła ciężkości F_g jest skierowana pionowo w dół, siła reakcji F_r jest skierowana prostopadle do równi w górę. Siła tarcia T jest równoległa do równi i ma zwrot do góry równi, przeciwnie do ruchu masy.}

Zasada zachowania energii:

\( m\cdot g\cdot h=\frac{m\cdot v^2}{2}+W \)

{Iloczyn masy m, przyspieszenia ziemskiego g i wysokości h jest równy sumie połowy iloczynu masy m przez kwadrat prędkości v oraz pracy W}

gdzie \( W \) - to praca siły tarcia \( T \) na drodze \( s \), \( h \) - to wysokość mierzona od podstawy równi

\( T=\mu\cdot m\cdot g\cdot c o s{\alpha} \)

{Siła tarcia T jest równa iloczynowi współczynnika tarcia mi, masy m, przyspieszenia ziemskiego g i cosinusa kąta alfa}

Po podstawieniu otrzymujemy

\( m\cdot g\cdot s\cdot s i n{\alpha}=\frac{m\cdot v^2}{2}+\mu\cdot m\cdot g\cdot s\cdot c o s{\alpha} \)

{Iloczyn masy m, przyspieszenia ziemskiego g, drogi s i sinusa kąta alfa jest równy połowie iloczynu masy m przez kwadrat prędkości v plus iloczyn współczynnika tarcia mi, masy m, przyspieszenia ziemskiego g, drogi s i cosinusa kąta alfa}

czyli \( v=\sqrt{2\cdot g\cdot s\cdot\left(sin{\alpha}-\mu\cdot c o s{\alpha}\right)} \)

{prędkość v jest równa pierwiastkowi z podwojonego iloczynu przyspieszenia ziemskiego g, drogi s i różnicy sinusa kąta alfa oraz pomnożonego przez współczynnik tarcia mi cosinusa kąta alfa}

Stąd otrzymujemy przyspieszenie w ruchu jednostajnie przyśpieszonym

\( a=g\cdot\left(sin{\alpha}-\mu\cdot c o s{\alpha}\right) \)

{przyspieszenie a jest równe iloczynowi przyspieszenia ziemskiego g przez różnicę sinusa kąta alfa oraz pomnożonego przez współczynnik tarcia mi cosinusa kąta alfa}

b)   Masa \( m \) porusza się w górę równi z opóźnieniem \( a \), jej energia kinetyczna maleje, energia potencjalna wzrasta. Bilans energii uzupełnia praca siły tarcia.

{Na równi leży ciało o masie m. Na masę działają 3 siły. Siła ciężkości F_g jest skierowana pionowo w dół, siła reakcji F_r jest skierowana prostopadle do równi w górę. Siła tarcia T jest równoległa do równi i ma zwrot w dół równi, przeciwnie do ruchu masy.}

Zasada zachowania energii:

\( \frac{m\cdot v^2}{2}=\ m\cdot g\cdot h+W \)

{Połowa iloczynu masy m przez kwadrat prędkości v równa się sumie iloczynu masy m, przyspieszenia ziemskiego g i wysokości h plus praca W}

gdzie W - to praca siły tarcia T na drodze \( s \), \( h \) - to wysokość mierzona od podstawy równi.

\( T=\mu\cdot m\cdot g\cdot c o s{\alpha} \)

{Siła tarcia T jest równe iloczynowi współczynnika tarcia mi, masy m, przyspieszenia ziemskiego g i cosinusa kąta alfa}

Po podstawieniu otrzymujemy:

\( \frac{m\cdot v^2}{2}=\ m\cdot g\cdot s\cdot s i n{\alpha}+\mu\cdot m\cdot g\cdot s\cdot c o s{\alpha} \)

{Połowa iloczynu masy m przez kwadrat prędkości v jest równa sumie iloczynu masy m, przyspieszenia ziemskiego g, drogi s i sinusa kąta alfa oraz iloczynu współczynnika tarcia mi, masy m, przyspieszenia ziemskiego g, drogi s i cosinusa kąta alfa}

czyli \( v=\sqrt{2\cdot g\cdot s\cdot\left(sin{\alpha}+\mu\cdot c o s{\alpha}\right)} \)

{prędkość v jest równa pierwiastkowi z podwojonego iloczynu przyspieszenia ziemskiego g, drogi s i sumy sinusa kąta alfa oraz pomnożonego przez współczynnik tarcia mi cosinusa kąta alfa}

Stąd otrzymujemy przyspieszenie w ruchu jednostajnie przyśpieszonym

\( a=g\cdot\left(sin{\alpha}+\mu\cdot c o s{\alpha}\right) \)

{przyspieszenie a jest równe iloczynowi przyspieszenia ziemskiego g przez sumę sinusa kąta alfa oraz pomnożonego przez współczynnik tarcia mi cosinusa kąta alfa}