17. Zadania

17.7. Zadanie 7 (zasada zachowania pędu i energii)

Zadanie 7 (zasada zachowania pędu i energii)

Z wózka o masie \( M \), jadącego z prędkością \( v \) po gładkim, poziomym torze wyrzucono piłkę o masie \( m \) z prędkością \( u \) względem wózka. Obliczyć prędkość wózka po wyrzuceniu piłki oraz pracę wyrzucenia piłki z wózka.

Zadanie należy rozwiązać uwzględniając dwa przypadki:

a)    piłka została wyrzucona zgodnie z kierunkiem ruchu wózka

rys1 zad7(zasada zachowania pędu i energii)

{Wózek porusza się w prawo. Wektor prędkości v i wektor prędkości u wskazują godzinę trzecią.}

b)    piłka została wyrzucona w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wózka.

rys2 zad7(zasada zachowania pędu i energii)

{Wózek porusza się w prawo. Wektor prędkości v wskazuje godzinę trzecią, a wektor prędkości u godzinę dziewiątą}

Rozwiązanie:

Korzystając z zasady zachowania pędu

\( \left(m+M\right)\cdot\vec{v}=M\cdot{\vec{v}}_k+m\cdot\left(\vec{v}+\vec{u}\right) \)

{Iloczyn wektora prędkości v przez sumę masy piłki m i masy wózka duże M jest równy sumie iloczynu masy wózka duże M przez wektor prędkości v_k oraz iloczynu masy piłki m przez sumę wektorów prędkości v i prędkości u}

otrzymujemy prędkość wózka po wyrzuceniu worka w przypadku a)

\( v_k=v-\frac{m\cdot u}{M} \)

{Prędkość v_k równa się różnicy prędkości v i iloczynu masy piłki m przez u podzielonemu przez masę wózka duże M}

W przypadku b) prędkość wózka

\( v_k=v+\frac{m\cdot u}{M} \)

{Prędkość v_k równa się sumie prędkości v oraz iloczynu masy piłki m i prędkości u podzielonemu przez masę wózka duże M}

Praca \( W \) wykonana przez człowieka zwiększy energię kinetyczną układu mas M oraz m

\( W=∆E \)

{Praca W równa się delta energii E}

Zmiana energii kinetycznej układu równa jest różnicy energii końcowej \( M \) i początkowej \( m \),

\( ∆E=Ek-E_0 \)

{zmiana energii delta E równa się różnicy energii kinetycznej końcowej E_k i energii kinetycznej początkowej E_0}

Dlatego dla przypadku a)

\( W=\frac{M\cdot v_k^2}{2}+\frac{m\cdot\left(v+u\right)^2}{2}-\frac{\left(M+m\right)\cdot v^2}{2}=\frac{m\cdot u^2}{2}\left(1+\frac{m}{M}\right) \)

{Praca W równa się połowie iloczynu masy wózka duże M przez kwadrat prędkości v_k plus połowa iloczynu masy piłki m przez kwadrat sumy prędkości v i prędkości u minus połowa iloczynu sumy mas wózka i piłki przez kwadrat prędkości v, co daje połowę iloczynu masy piłki m i kwadratu prędkości u pomnożony przez sumę 1 i ilorazu masy piłki m przez masę wózka duże M}

Dla przypadku b)

\( W=\frac{M\cdot v_k^2}{2}+\frac{m\cdot\left(v-u\right)^2}{2}-\frac{\left(M+m\right)\cdot v^2}{2} \)

{Praca W równa się połowie iloczynu masy wózka duże M przez kwadrat prędkości v_k plus połowa iloczynu masy piłki m przez kwadrat różnicy prędkości v i prędkości u minus połowa iloczynu sumy mas wózka i piłki przez kwadrat prędkości v}