3. Dynamika

Zadanie 2 (Ruch postępowy po równi pochyłej)

Współczynnik tarcia między ciałem o masie \( m \) i równią wynosi \( µ \). Kąt nachylenia równi \( \alpha \). Z jakim przyspieszeniem porusza się masa \( m \):

a)    w dół równi?

{Do klocka znajdującego się na równi przyłożone są siły. Siła ciężkości F_g skierowana jest pionowo w dół. Składowa siły ciężkości F_x jest równoległa do równi i skierowana w dół równi. Składowa siły ciężkości F_y jest prostopadła do równi i wskazuje godzinę siódmą. Siły F_x i F_y tworzą prostokąt, którego siła ciężkości F_g jest przekątną. Siła tarcia T jest równoległa do równi i skierowana w górę równi. Siła reakcji F_r jest prostopadła do równi, ma taką samą długość jak składowa siły ciężkości F_y, ale przeciwny zwrot wskazując godzinę pierwszą}

b)    w górę równi?

{Do klocka znajdującego się na równi przyłożone są siły. Siła ciężkości F_g skierowana jest pionowo w dół. Składowa siły ciężkości F_x jest równoległa do równi i skierowana w dół równi. Składowa siły ciężkości F_y jest prostopadła do równi i wskazuje godzinę siódmą. Siły F_x i F_y tworzą prostokąt, którego siła ciężkości F_g jest przekątną. Siła tarcia T jest równoległa do równi i skierowana w dół równi. Siła reakcji F_r jest prostopadła do równi, ma taką samą długość jak siła F_y, ale przeciwny zwrot wskazując godzinę pierwszą}

Rozwiązanie:

a)     Siłę ciężkości \( \vec{F_g} \) rozkładamy na składowe: równoległą do równi \( \vec{F_x} \) i prostopadłą do równi \( \vec{F_y} \).

\( F_x=F_gsin\alpha=mgsin\alpha \)

{Siła F_x jest równa iloczynowi siły ciężkości F_g i sinusa kąta alfa, który jest równy iloczynowi masy m, przyspieszenia ziemskiego g i sinusa kąta alfa}

\( F_y=F_gcos\alpha=mgcos\alpha \)

{Siła F_y jest równa iloczynowi siły ciężkości F_g i cosinusa kąta alfa, który jest równy iloczynowi masy m, przyspieszenia ziemskiego g i cosinusa kąta alfa}

Siła sprężystości podłoża (siła reakcji) \( \vec{F_r} \) jest równa sile nacisku i w tym przypadku jest równa \( F_y \).

Równanie ruchu Newtona:

\( m\cdot a=m\cdot g\cdot s i n{\alpha}-T \)

{Iloczyn masy m i przyspieszenia a jest równy iloczynowi masy m, przyspieszenia ziemskiego g i sinusa kąta alfa minus siła tarcia T}

\( T=\mu\cdot m\cdot g\cdot c o s{\alpha} \)

{Siła tarcia T jest równa iloczynowi współczynnika tarcia mi, masy m, przyspieszenia g i cosinusa kąta alfa}

Stąd otrzymujemy:

\( a=g\cdot\left(sin{\alpha}-\mu\cdot c o s{\alpha}\right) \)

{Przyspieszenie a równa się iloczynowi przyspieszenia ziemskiego g przez różnicę sinusa kąta alfa i iloczynu współczynnika tarcia mi przez cosinus kąta alfa}

\( a>0 \), gdy \( \mu < tg\alpha \)

{kąt alfa jest większy od zera, gdy współczynnik tarcia mi jest mniejszy od tangensa kąta alfa}

\( a<0 \), gdy \( \mu > tg\alpha \)

{kąt alfa jest mniejszy od zera, gdy współczynnik tarcia mi jest większy od tangensa kąta alfa}

Masa \( m \) porusza się w dół równi z przyspieszeniem \( a \). Gdy \( tg\alpha>µ \) {tangens alfa jest większy od współczynnika tarcia mi} to jej prędkość rośnie, gdy \( tg\alpha<µ \) to prędkość maleje.

b)    Równanie ruchu Newtona:

\( m\cdot a=m\cdot g\cdot s i n{\alpha}+T \)

{Iloczyn masy m i przyspieszenia a jest równy sumie iloczynu masy m, przyspieszenia ziemskiego g i sinusa kąta alfa plus siła tarcia T}

gdzie

\( T=\mu\cdot m\cdot g\cdot c o s{\alpha} \)

{Siła tarcia T jest równa iloczynowi współczynnik tarcia mi, masy m, przyspieszenia ziemskiego g i cosinusa kąta alfa}

Stąd otrzymujemy:

\( a=g\cdot\left(sin{\alpha}+\mu\cdot c o s{\alpha}\right) \)

{Przyspieszenie a równa się iloczynowi przyspieszenia ziemskiego g przez sumę sinusa kąta alfa oraz iloczynu współczynnika tarcia mi i cosinusa kąta alfa}

Masa \( m \) porusza się w górę równi z opóźnieniem a, jej prędkość maleje.