3. Dynamika

Równanie Newtona dla ruchu obrotowego

Wartość momentu pędu punktu materialnego poruszającego się po okręgu ze stałą prędkością kątową \( \vec{\omega} \) można wyrazić za pomocą wzoru:

{Wektor momentu pędu L jest równy iloczynowi momentu bezwładności I oraz wektora prędkości kątowej omega}

Wektor momentu pędu ma kierunek zgodny z kierunkiem osi obrotu podobnie jak wektor prędkości kątowej.

Przekształćmy teraz drugą zasadę dynamiki do postaci opisującej ruch obrotowy. Po pomnożeniu wektorowo obu stron równania (3.2.4.1) przez \( \vec{r} \) otrzymujemy równanie:

{Iloczyn wektorowy wektorów promienia r i siły F jest równy iloczynowi wektorowemu wektora promienia r i pochodnej wektora pędu p względem czasu t}

Lewa strona tego równania jest momentem siły. Dla znalezienia znaczenia fizycznego prawej strony obliczmy pochodną względem czasu momentu pędu.

{Pochodna wektora momentu pędu L względem czasu jest równa pochodnej względem czasu iloczynu wektorowego wektorów promienia r i pędu p, a to z kolei równa się sumie iloczynu wektorowego pochodnej wektora promienia r względem czasu t i wektora pędu p oraz iloczynu wektorowego wektora promienia r i pochodnej wektora pędu p względem czasu t.}

Zauważamy natychmiast, że pierwszy człon po prawej stronie tego wzoru równy jest zeru. Wynika to z własności iloczynu wektorowego. Pochodna wektora promienia wodzącego względem czasu, to z definicji wektor prędkości, którego kierunek pokrywa się z kierunkiem wektora pędu ciała, a iloczyn wektorowy dwóch wektorów równoległych jest równy zeru. W rezultacie otrzymujemy.

{Pochodna wektora momentu pędu L względem czasu t jest równa iloczynowi wektorowemu wektora promienia r i pochodnej wektora pędu p względem czasu t.}

Podstawiając ten związek do równania (3.12.1.2) i pamiętając w dalszym ciągu, że lewa strona równania (3.12.1.2) jest momentem siły (3.12.1) mamy

{Pochodna wektora momentu pędu L względem czasu jest równa wektorowi momentu siły M}

Wyraziliśmy w ten sposób druga zasadę dynamiki poprzez związek pomiędzy momentem siły i pochodną momentu pędu względem czasu. Związek ten jest zwany drugą zasadą dynamiki ruchu obrotowego.

Zakładając, że moment bezwładności zachowuje w czasie ruchu wartość stałą \( I=const \), możemy zapisać pochodną momentu pędu względem czasu w postaci

Pochodna wektora momentu pędu L względem czasu t jest równa pochodnej iloczynu momentu bezwładności I oraz wektora prędkości kątowej omega względem czasu t, która równa się iloczynowi momentu bezwładności I oraz pochodnej wektora prędkości kątowej omega względem czasu t, co możemy zapisać jako iloczyn momentu bezwładności I oraz wektora przyspieszenia kątowego epsilon}

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego może więc być zapisana także w postaci:

{Wektor momentu siły M jest równy iloczynowi momentu bezwładności I oraz wektora przyspieszenia kątowego epsilon}