3. Dynamika

Zderzenia niesprężyste

Gdyby po zderzeniu kule zlepiły się i dalej poruszały wspólnie z tą samą prędkością \( v_{12} \) mielibyśmy do czynienia ze zderzeniem całkowicie niesprężystym, zwanym też - doskonale plastycznym. W takim zderzeniu nie jest zachowana energia kinetyczna, kule zwykle ulegają odkształceniu i rozgrzaniu, pewna energia zużyta jest na ich zlepienie itp. Spełnione jest jednak prawo zachowania pędu.

{Suma iloczynów masy m_1 i prędkości v_1 oraz masy m_2 i prędkości v_2 jest równa iloczynowi sumy masy m_1 i masy m_2 przez prędkość v_1_2}

Z równania tego wyznaczmy wspólną prędkość \( v_{12} \) połączonych razem kul

{Prędkość v_1_2 jest równa ilorazowi sumy iloczynów masy m_1 i prędkości v_1 oraz masy m_2 i prędkości v_2 przez sumę masy m_1 i masy m_2}

Sprawdź, że zachodzi nierówność:

{Energia kinetyczna E_k_1_2 jest mniejsza od sumy energii kinetycznej E_k_1 i energii kinetycznej E_k_2}

gdzie

{Energia kinetyczna E_k_1_2 jest równa iloczynowi sumy masy m_1 i masy m_2 przez połowę kwadratu prędkości v_1_2}

oraz

{Suma energii kinetycznej E_k_1 i energii kinetycznej E_k_2 jest równa sumie połowy iloczynu masy m_1 przez kwadrat prędkości v_1 oraz połowy iloczynu masy m_2 przez kwadrat prędkości v_2}

W układzie odniesienia poruszającym się z prędkością \( v_{12} \) pęd połączonych z sobą kul wynosi oczywiście zero, ponieważ w swoim własnym układzie kule nie poruszają się. Wynika stąd ciekawy wniosek. Prędkość \( v_{12} \), to prędkość, przy której sumaryczny pęd kul był równy zeru także przed zderzeniem, co wynika bezpośrednio z zasady zachowania pędu. Konsekwentnie - także sumaryczny pęd kul po zderzeniu sprężystym musi być równy zeru w tym układzie, ponieważ jest równy pędowi kul przed zderzeniem. Układ, w którym sumaryczny pęd wszystkich ciał wchodzących w jego skład równy jest zeru nazywamy układem środka masy.

Wahadło balistyczne

Przykładem, w którym wykorzystujemy prawo zachowania pędu w procesie zderzenia niesprężystego, jak i prawo zachowania energii dla sił zachowawczych, jest tzw. wahadło balistyczne służące do pomiaru szybkości pocisków.

Rysunek 3.10.2.1. Wahadło balistyczne

{Rysunek przedstawia prostopadłościenny klocek o masie m_1 zawieszony na dwóch pionowych nitkach zaczepionych u góry do poziomej belki. Pozioma przerywana linia jest poziomą osią symetrii klocka. Po lewej stronie klocka w niedużej odległości od niego na poziomej osi symetrii klocka znajduje się pocisk o masie m_p, do którego zaczepiony jest wektor v_p wskazujący godzinę trzecią. Do wiszącego klocka zaczepiony jest wektor v_p_k również wskazujący godzinę trzecią. Na rysunku został także przedstawiony taki sam klocek, ale z pociskiem znajdującym się w jego środku. Drugi klocek znajduje się z prawej strony wyżej o h od pierwszego. Nitki na których wisi drugi klocek są odchylone od pionu i wskazują godzinę piątą.}

Wahadło to stanowi kloc drewniany o masie \( m_k \) zawieszony na lekkiej linie. Pocisk o masie \( m_p \) poruszający się z prędkością \( v_p \) uderza w kloc i grzęźnie w nim, a cały układ uzyskuje prędkość \( v_{pk} \). Jest to typowy przykład zderzenia niesprężystego, w którym energia mechaniczna nie jest zachowana.

Prawo zachowania pędu jest spełnione i wymaga, aby

{Iloczyn masy m_p i prędkości v_p jest równy iloczynowi sumy masy m_p i masy m_k przez prędkość v_p_k}

 Po uderzeniu pocisku wahadło uzyskuje prędkość \( v_{pk} \) i energię kinetyczną

{Energia kinetyczna E_k_u jest równa iloczynowi połowy sumy masy m_p i masy m_k przez drugą potęgę prędkości v_p_k}

Układ znajduje się pod działaniem zachowawczej siły ciężkości, która sprawia, że prędkość wahadła zmniejsza się do zera po osiągnięciu wysokości h, zaś cała energia kinetyczna układu zamienia się w energię potencjalną. Możemy więc teraz zastosować prawo zachowania energii. Otrzymujemy związek

{Iloczyn połowy sumy masy m_p i masy m_k przez drugą potęgę prędkości v_p_k jest równy iloczynowi sumy masy m_p i masy m_k przez przyspieszenie ziemskie g i wysokość h}

skąd wyznaczamy prędkość początkową układu

{Prędkość v_p_k jest równa pierwiastkowi z podwojonego iloczynu przyspieszenia ziemskiego g i wysokości h}

a ze wzoru (3.10.2.6) - prędkość pocisku

{Prędkość v_p jest równa iloczynowi ilorazu sumy masy m_p i masy m_k przez masę m_p oraz pierwiastka z podwojonego iloczynu przyspieszenia ziemskiego g i wysokości h}

Znając prędkość, możemy wyznaczyć energię kinetyczną pocisku

{Energia kinetyczna E_k_p jest równa połowie iloczynu masy m_p przez drugą potęgę prędkości v_p. To z kolei jest równe iloczynowi kwadratu sumy masy m_p i masy m_k oraz przyspieszenia ziemskiego g i wysokości h podzielonemu przez masę m_p}

oraz stosunek energii kinetycznej pocisku do energii kinetycznej układu

{Stosunek energii kinetycznej E_k_p do energii kinetycznej E_k_u jest równy stosunkowi sumy masy m p i masy m k do masy m_p, zaś to z kolei równa się sumie 1 i ilorazu masy m_k przez masę m_p, co jest dużo większe od 1}

Stosunek ten jest znacznie większy niż 1 bowiem masa kloca jest zwykle znacznie większa od masy pocisku. Stracona energia mechaniczna zamieniła się na ciepło powodując rozgrzanie pocisku i kloca.

Doświadczenia

Sfilmowaliśmy  doświadczenia wykonane z wykorzystaniem zestawów kul:

 Nie zapomnij przesłać odpowiedzi do swego opiekuna.