2. Zasady dynamiki

2.2. Masa i środek masy

Masa i środek masy

W celu sformułowania drugiej zasady dynamiki konieczne jest wprowadzenie pojęcia masy. Newton określił masę jako miarę ilości materii, uważając tę jej właściwość za niezależną od stanu ruchu obiektów materialnych.

Jednostkę masy (kilogram, kg) wprowadziliśmy już w pierwszej lekcji. W drugiej, zdefiniowaliśmy pojęcie punktu materialnego. Teraz, każdemu obiektowi materialnemu przypiszemy masę \( m \) jako miarę jego bezwładności przy działaniu na ciało siły, która nadaje mu przyspieszenie.

Kiedy interesuje nas ruch układu wielu punktów materialnych, wprowadzamy pojęcie środka masy. Wektor położenia środka masy dla układu \( N \) punktów związany jest z masami \( m_i \) i promieniami wodzącymi \( \vec{r}_i \) wszystkich punktów wchodzących w skład układu wzorem:

\( {\vec{r}}_{sm}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{N}{m_i\cdot}{\vec{r}}_i}{M} \)
(3.2.2.1)

{Wektor położenia środka masy r_s_m jest równy sumie po i zmieniającym się od 1 do N iloczynów mas punktów m_i przez odpowiadające im wektory położenia r_i podzielonej przez masę układu M}

gdzie

\( M=\displaystyle\sum_{i=1}^{N}m_i \)                         
(3.2.2.2)

{Masa układu M jest równa sumie po i zmieniającym się od 1 do N mas punktów m_i}

jest masą całego układu.

Przykład obliczania środka masy układu punktów materialnych

Cztery punkty materialne o masach \( m_1 = 1g \), \( m_2 = 2g \), \( m_3 = 3g \), \( m_4 = 4g \) umieszczono w punktach o współrzędnych odpowiednio: \( m_1\ \left(-1, -4,\ 3\right) \); \( m_2\ \left(2,-1,-5\right) \); \( m_3\ \left(-3,\ 6,\ 0\right) \); \( m_4\ \left(-4, 0, -2\right) \).

Masa całego układu jest równa:

\( M=\displaystyle\sum_{i=1}^{4}m_i=10\ g \)
(3.2.2.3)

{Masa M jest równe sumie po i zmieniającym się od 1 do 4 wyrazów masa małe m_i, a to jest równe 10 gramów}

Wzór (3.4.1) opisujący położenie środka masy możemy zapisać za pomocą trzech wzorów – osobno dla każdej współrzędnej.

\( x_{sm}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{4}{m_i\cdot x_i}}{M} \)
(3.2.2.4)

{Współrzędna x _s_m jest równa sumie po i zmieniającym się od 1 do 4 iloczynów mas punktów m_i przez współrzędne x_i podzielonej przez masę układu M}

\( \ y_{sm}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{4}{m_i\cdot y_i}}{M} \)
(3.2.2.5)

{Współrzędna y_s_m jest równa sumie po i zmieniającym się od 1 do 4 iloczynów mas punktów m_i przez współrzędne y_i podzielonej przez masę układu M}

\( z_{sm}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{4}{m_i\cdot z_i}}{M} \)
(3.2.2.6)

{Współrzędna z _s_m jest równa sumie po i zmieniającym się od 1 do 4 iloczynów mas punktów m_i przez z_i podzielonej przez masę układu M}

Podstawiając dane otrzymujemy:

\( x_{sm}=\frac{1\cdot\left(-1\right)+2\cdot\ t2+3\cdot\left(-3\right)+4\cdot(-4)}{10}=-2,2 \)
(3.2.2.7)

{Współrzędna x_s_m jest równa sumie iloczynów 1 razy minus 1, 2 razy 2, 3 razy minus 3 i 4 razy minus 4 podzielonej przez 10, a to z kolei jest równe minus 2,2}

\( y_{sm}=\frac{-4-2+18+0}{10}=1,2 \)
(3.2.2.8)

{Współrzędna y_s_m jest równa sumie minus 4, minus 2, plus 18 i plus zero podzielonej przez 10, a to z kolei jest równe 1,2}

\( z_{sm}=\frac{3-10+0-8}{10}=-1,5 \)
(3.2.2.9)

{Współrzędna z_s_m jest równa sumie 3, minus 10, plus zero i minus 8 podzielonej przez 10, a to z kolei jest równe minus 1,5}

Wektor położenia środka masy układu czterech punktów możemy zapisać w postaci:

\( {\vec{r}}_{sm}=\left[-2,2;1,2; -1,5\right] \)
(3.2.2.10)

{Wektor r_s_m ma współrzędne minus 2,2; 1,2 oraz minus 1,5}