2. Kinematyka

Zadanie 5 (rzut ukośny z samolotu)

Samolot leci z prędkością \( v_s \) na stałej wysokości h nad ziemią. W pewnej chwili zostaje z niego wystrzelony pocisk ukośnie do góry pod kątem \( \alpha \) do poziomu z prędkością \( v_p \) względem samolotu przeciwnie do jego ruchu.

a)    Napisać równania ruchu pocisku,

b)    Wyprowadzić równanie toru pocisku,

c)    Znaleźć czas po jakim pocisk spadnie na ziemię,

d)    Znaleźć miejsce upadku pocisku,

e)    Znaleźć maksymalną wysokość na jaką wzniósł się pocisk

{Na rysunku przedstawiony został dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich X Y, którego oś X wskazuje godzinę trzecią, a oś Y wskazuje godzinę dwunastą. W punkcie znajdującym się na osi Y w odległości h od początku układu współrzędnych zostały zaczepione dwa wektory: v _s wskazujący godzinę trzecią oraz v _p wskazujący godzinę jedenastą. Kąt między wektorem v _p a poziomem został oznaczony alfa. Po prawej stronie osi Y znajduje się wektor g, wskazujący godzinę szóstą.}

Wskazówki ułatwiające rozwiązanie:

a)   Rozłóż prędkość pocisku na składowe i zapisz równania dla współrzędnej \( x \) i \( y \) pocisku. Pamiętaj o tym, aby uwzględnić prędkość samolotu.

b)   Z równania dla współrzędnej \( x \) wyznacz czas \( t \) i podstaw go do równania dla współrzędnej \( y \)

c)   W chwili uderzenia w ziemię współrzędna \( y \) jest równa zero: \( y(t) = 0 \)

d)   Sposób 1: do równania na \( x(t) \) wstaw całkowity czas lotu

Sposób 2: skorzystaj z równania toru i znajdź miejsca zerowe funkcji \( y(t) \)

e)    Sposób 1: skorzystaj z równania toru i znajdź współrzędne wierzchołka paraboli

Odpowiedzi:

a)   \( x\left(t\right)=(v_s-v_p·cosα)·t \); \( y\left(t\right)=h+v_p·sinα· t-\frac{g·t^2}{2} \)

{Współrzędna x w chwili czasu t jest równa iloczynowi różnicy prędkości samolotu v _s i prędkości pocisku v _p pomnożonej przez cosinus alfa. Współrzędna y w chwili czasu t jest równa różnicy, gdzie odjemną jest suma wysokości h i prędkości pocisku v _p pomnożonej przez sinus alfa i czas t, a odjemnikiem połowa iloczynu przyspieszenia ziemskiego g i kwadratu czasu t}

b)      \( y\left(x\right)=h+v_p·sinα· \frac{x}{vs - vp · cosα}- \frac{g·x^2}{2(vs - vp · cosα)^2} \)

{Współrzędna y jako funkcja x jest równa wysokości h plus iloczyn prędkości pocisku v _p, sinusa alfa i ilorazu współrzędnej x przez różnicę prędkości samolotu vs i prędkości pocisku v _p pomnożonej przez cosinus alfa minus połowa iloczynu przyspieszenia ziemskiego g i ilorazu kwadratu współrzędnej x przez kwadrat różnicy prędkości samolotu v _s i prędkości pocisku v _p pomnożonej przez cosinus alfa}

c)      \( t = \frac{vp \cdot sinα + \sqrt{vp^2·sin^2α +2·h·g}}{g} \)

{czas t jest równy ilorazowi, w którym dzielną jest suma prędkości pocisku v _p pomnożonej przez sinus kąta alfa i pierwiastka kwadratowego sumy kwadratu prędkości pocisku v _p pomnożonej przez kwadrat sinusa kąta alfa plus podwojony iloczyn wysokości h i  przyspieszenia ziemskiego g, a dzielnikiem przyspieszenie ziemskie g}

d)     \( x_u=(v_s-v_p·cosα)· \frac{vp \cdot sinα + \sqrt{vp^2·sin^2α +2·h·g}}{g} \)

{Współrzędna x  z indeksem u jest równa iloczynowi różnicy prędkości samolotu v _s i prędkości pocisku v _p pomnożonej przez cosinus kąta alfa oraz ilorazu, w którym dzielną jest suma prędkości pocisku v _p pomnożonej przez sinus kąta alfa i pierwiastka kwadratowego sumy kwadratu prędkości pocisku v _p pomnożonej przez kwadrat sinusa kąta alfa plus podwojony iloczyn wysokości h i przyspieszenia ziemskiego g, a dzielnikiem przyspieszenie ziemskie g}

\( y_{max}=h+ \frac{v_p^2 \cdot sin^2α}{2 \cdot g } \)

{Maksymalna wysokość y z indeksem max jest równa sumie wysokości h i ilorazu kwadratu prędkości pocisku v _p pomnożonej przez kwadrat sinusa kąta alfa przez podwojone przyspieszenie ziemskie g}