2. Kinematyka

Zadanie 4 (spadek swobodny w windzie) 

Winda porusza się ruchem jednostajnie zmiennym do góry \( a_w \lt g \) {przyspieszenie a_w jest mniejsze od przyspieszenia ziemskiego g}. W chwili, gdy winda ma prędkość \( v_w \) i jej podłoga znajduje się na wysokości \( s \) nad ziemią z sufitu odrywa się żarówka. Winda ma wysokość \( H \). Po jakim czasie żarówka upadnie na podłogę, jeśli

a)   winda porusza się do góry z przyspieszeniem \( a_w < g \).

b)   winda porusza się do góry z opóźnieniem \( a_w < g \).

c)   winda porusza się w dół z przyspieszeniem \( a_w < g \).

d)   winda porusza się w dół z opóźnieniem \( a_w < g \).

Rozwiązanie:

a)     

{Na rysunku przedstawiony został dwuwymiarowy układ współrzędnych kartezjańskich X Y, którego oś X wskazuje godzinę trzecią, a oś Y wskazuje godzinę dwunastą. Prostokąt obrazujący windę jest położony w ten sposób, że dwa jego boki o długości H są równoległe do osi Y, przy czym jeden z nich leży na osi. Dwa pozostałe boki o nieokreślonej długości są równoległe do osi X, przy czym położone są w odległościach s i s + H. Do sufitu windy zaczepione są dwa równoległe wektory v _w  i  a _w wskazujące godzinę dwunastą. Obok prostokąta po jego prawej stronie znajduje się wektor g, wskazujący godzinę szóstą.}

Zapiszmy równania ruchu żarówki i podłogi windy. Zauważ, że wystarczy napisać tylko równania dla współrzędnej \( y \).

Dla podłogi windy:

\( y_w\left(t\right)=s+v_w\cdot t+\frac{a_w\cdot t^2}{2} \)

{Współrzędna windy y _w w chwili czasu t jest równa sumie wysokości s, iloczynu prędkości v _w i  czasowi t oraz połowy iloczynu przyspieszenia a _w i kwadratu czasu t}

Dla żarówki:

\( y_ż(t) = s + H + v_w \cdot t - \frac{g \cdot t^2 }{2} \)

{Współrzędna żarówki y _ż w chwili czasu t jest równe sumie wysokości s, wysokości H oraz iloczynu prędkości v _w przez czas t oraz połowy iloczynu przyspieszenia a _w  i  kwadratu czasu t}

W chwili, gdy żarówka dotknie podłogi windy, współrzędne \( y_w\left(t\right)\ i\ y_ż(t) \) muszą być sobie równe.

\( y_w(t)= y_ż(t) \)

{Współrzędna windy y _w dla chwili czasu t jest równa współrzędnej y _ż w chwili czasu t}

Stąd:

\( s+v_w\cdot t+\frac{a_w\cdot t^2}{2}=\ s+H+v_w\cdot t-\frac{g\cdot t^2}{2} \)

{Suma wysokości s, iloczynu prędkości windy v _w i  czasu t oraz połowy iloczynu przyspieszenia a _w i kwadratu czasu t jest równa sumie wysokości s, wysokości H oraz iloczynu prędkości windy v _w i czasu t odjąć połowę iloczynu przyspieszenia ziemskiego g  i kwadratu czasu t}

Wykonując przekształcenia otrzymujemy:

\( t=\sqrt{\frac{2\cdot H}{g+a_w}} \)

{Czas t jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z ilorazu podwojonej wysokości H przez sumę przyspieszenia ziemskiego g i przyspieszenia windy a  z indeksem w}

Pozostałe przypadki b), c) i d) proszę rozwiązać samodzielnie.

Odpowiedzi:

b)     \( t=\sqrt{\frac{2\cdot H}{g-a_w}} \)

{Czas t jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z ilorazu podwojonej wysokości H przez różnicę przyspieszenia ziemskiego g i przyspieszenia windy a _w}

c)     

{Czas t jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z ilorazu podwojonej wysokości H przez sumę przyspieszenia ziemskiego g i przyspieszenia windy a _w}

c)       \( t=\sqrt{\frac{2\cdot H}{g-a_w}} \)

{Czas t jest równy pierwiastkowi kwadratowemu z ilorazu podwojonej wysokości H przez różnicę przyspieszenia ziemskiego g i przyspieszenia windy a _w}