2. Kinematyka

Zadanie 2 (zasada niezależności ruchów)

Łódź przepływa w poprzek rzekę ze stałą względem wody prędkością \( v_y \), prostopadłą do kierunku prądu rzeki. Prędkość wody w rzece jest stała i równa \( v_x \). Szerokość rzeki \( D \).

Znaleźć:

a)    wektor prędkości łodzi w układzie odniesienia związanym z brzegiem,

b)    równanie toru łodzi,

c)   odległość \( s \), o którą prąd rzeki znosi łódź od miejsca startu do miejsca przybicia na przeciwległym brzegu.

Rozwiązanie:

{Brzegi rzeki zostały zaznaczone dwiema prostymi równoległymi, między którymi odległość wynosi D. Proste wskazują godzinę trzecią. Oś X dwuwymiarowego układu współrzędnych prostokątnych pokrywa się z dolną prostą. Oś Y jest prostopadła do obu prostych. Na dolnej prostej został zaznaczony punkt, który jest początkiem układu współrzędnych. Na górnej prostej zostały zaznaczone dwa punkty: jeden jest punktem przecięcia osi Y z tą prostą, drugi znajduje się w odległości s od niego z jego prawej strony. W punkcie będącym początkiem układu współrzędnych zaczepiony został wektor v _y, który leży na osi Y i ma ten sam zwrot co oś. Powyżej osi X, pomiędzy prostymi równoległymi znajduje się wektor v _x, równoległy do osi X i tym samym zwrocie co oś X.}

a)    Początek układu współrzędnych kartezjańskich (punkt 0,0) umieszczamy w miejscu startu łodzi. Daje to warunki początkowe, dla czasu \( t=0 \), \( x(0)=0 \) i \( y(0)=0 \) {czas t jest równy zero, współrzędna x dla chwili czasu równej zero jest równa zero i współrzędna y dla chwili czasu równej zero jest równa zero}. Wektor prędkości:

\( \vec{v}\left(t\right)=\left[v_x;v_y\right] \)

{Pierwsza współrzędna wektora prędkości v w chwili czasu t jest równa v _x, a druga współrzędna jest równa v _y}

b)   Ruch łodzi w poprzek rzeki wynika ze złożenia dwóch niezależnych ruchów, w kierunku osi \( OX \) z prędkością wody w rzece \( v_x \) i osi \( OY \) ze stałą prędkością \( v_y \).

Możemy zapisać równania ruchu w kierunku osi \( OY \):

\( y\left(t\right)=v_y·t \)

{Współrzędna y w chwili czasu t jest równa iloczynowi prędkości v _y i czasu t}

oraz w kierunku osi \( OX \):

\( y=\frac{v_y}{v_x}·x \)

{Współrzędna x w chwili czasu t jest równa iloczynowi prędkości v _x i czasu t}

Eliminując z powyższych równań ruchu czas otrzymujemy równanie toru:

\( y=\frac{v_y}{v_x}·x \)

{Współrzędna y jest równa iloczynowi ilorazu prędkości v _y przez prędkość v _x razy współrzędna x}

Ponieważ prędkości \( v_x \) i \( v_y \) są stałe, torem ruchu łodzi jest linia prosta.

c)   Gdy współrzędna \( y = D \), to współrzędna \( x = s \), dlatego

\( s=\frac{v_x}{v_y}·D \)

{Odległość s jest równa iloczynowi ilorazu prędkości v _x przez prędkość v _y razy szerokość rzeki D}