2. Kinematyka

Zadanie 1 (współrzędne kartezjańskie)

Ruch plamki na ekranie oscyloskopu, w układzie kartezjańskim w płaszczyźnie \( XY \), opisuje wektor położenia.

\( \vec{r}\left(t\right)=\left[A\cdot c o s\left(\omega \cdot t\right);B \cdot s i n\left(\omega\cdot t\right)\right] \)

{Wektor położenia r w chwili czasu t> ma pierwszą współrzędną równą iloczynowi stałej A i cosinusa iloczynu omegi przez czas t. Druga współrzędna jest równa iloczynowi stałej B i sinusa iloczynu omegi przez czas t}

gdzie \( A \), \( B \), \( \omega \) {omega} to stałe dodatnie, natomiast \( t \) - czas.

 Znaleźć:

a)    równanie toru plamki,

b)   równanie krzywej po której będzie poruszać się plamka w przypadku, gdy \( B = A \),

c)    wektor prędkości,

d)    wektor przyspieszenia.

Rozwiązanie:

Z treści zadania wynika, że \( x\left(t\right)=A\cdot cos\left(\omega \cdot t\right) \) oraz \( y\left(t\right)=B\cdot sin\left(\omega \cdot t\right) \)

{Współrzędna x w chwili czasu t jest równa iloczynowi stałej A i cosinusa z iloczynu omegi przez czas t oraz współrzędna y w chwili czasu t jest równa iloczynowi stałej B i sinusa iloczynu omegi przez czas t}

a)    Równie toru otrzymujemy eliminując czas z powyższych równań ruchu, podnosząc oba równania do kwadratu i dodając stronami.

Ponieważ

{Iloraz kwadratu współrzędnej x przez kwadrat A równa się kwadratowi cosinusa iloczynu omegi i czasu t}

oraz

\( \frac{y^2}{B^2}={sin}^2\left(\omega \cdot t\right) \)

{Iloraz kwadratu współrzędnej y przez kwadrat B równa się kwadratowi sinusa iloczynu omegi i czasu t}

to

\( \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=cos^2\left(\omega \cdot t\right)+{sin}^2\left(\omega \cdot t\right) \)

{Suma ilorazów kwadratu x przez kwadrat A i kwadratu y przez kwadrat B jest równa sumie kwadratu cosinusa iloczynu omegi i czasu t oraz kwadratu sinusa z iloczynu omegi i czasu t}

czyli ruch odbywa się po elipsie o równaniu:

\( \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}=1 \)

{Suma ilorazów kwadratu x przez kwadrat A i kwadratu y przez kwadrat B jest równa 1}

b)   W przypadku szczególnym, gdy \( B = A \), ruch odbywa się po okręgu o równaniu:

\( x^2+y^2=A^2 \)

{Suma kwadratów x i y jest równa kwadratowi A}

c)    Z definicji wektora prędkości, w tym ruchu:

\( \vec{v}\left(t\right)=\left[\frac{dx}{dt};\frac{dy}{dt}\right]=\left[-A \cdot \omega \cdot s i n\left(\omega \cdot t\right);B\cdot\omega \cdot c o s\left(\omega \cdot t\right)\right] \)

{wektor prędkości v w chwili czasu t jest równy wektorowi o pierwszej współrzędnej równej pochodnej współrzędnej x względem czasu t i drugiej współrzędnej równej pochodnej współrzędnej y względem czasu. To z kolei jest równe wektorowi o pierwszej współrzędnej równej minus iloczyn A, omegi i sinusa iloczynu omegi i czasu t. Druga współrzędna jest równa iloczynowi B, omegi i cosinusa iloczynu omegi i czasu t}

d)    Z definicji wektora przyspieszenia, w tym ruchu,

\( \vec{a}\left(t\right)=\left[\frac{dv_x}{dt};\frac{dv_y}{dt}\right]=\left[-A\cdot\omega^2\cdot c o s\left(\omega\cdot t\right);-B\cdot\omega^2\cdot s i n\left(\omega\cdot t\right)\right] \)

{wektor przyspieszenia a w chwili czasu t jest równy wektorowi o pierwszej współrzędnej równej pochodnej składowej prędkości v _x względem czasu t i drugiej współrzędnej równej pochodnej składowej prędkości v _y względem czasu. To z kolei jest równe wektorowi o pierwszej współrzędnej równej minus iloczyn A i kwadratu omegi pomnożonemu przez cosinus iloczynu omegi i czasu t. Druga współrzędna jest równa minus iloczyn B i kwadratu omegi pomnożonemu przez sinus iloczynu omegi i czasu t}