5. Przyspieszenie i jego składowe: normalna i styczna i

Przyspieszenie i jego składowe: normalna i styczna i 

Zdefiniowaliśmy prędkość jako granicę stosunku przyrostu wektora położenia do przedziału czasu, w którym ten przyrost nastąpił. Podobnie, granicę stosunku przyrostu wektora prędkości do czasu, w którym ten przyrost nastąpił nazywamy przyspieszeniem chwilowym lub krótko - przyspieszeniem. Przyspieszenie jest więc pochodną wektora prędkości względem czasu, a co za tym idzie - drugą pochodną względem czasu wektora położenia. W układzie współrzędnych prostokątnych zapiszemy to w następujący sposób.

\( \displaystyle\lim_{ \Delta{t} \rightarrow {0}} \frac{ \Delta \vec{v} }{ \Delta{t} } = \frac{ {d \vec{v} } }{dt} = \frac{dv_x}{dt} \cdot \hat{i} + \frac{dv_y}{dt} \cdot \hat{j} + \frac{dv_z}{dt} \cdot \hat{k} = \frac{d^2 \vec{r} }{dt^2} = \vec{a} \)          
(2.5.1)

{Granica ilorazu przyrostu delta wektora prędkości v przez przyrost delta czasu t przy przyroście czasu t dążącym do zera jest równa pochodnej wektora prędkości v względem czasu t, co jest równe sumie iloczynów pochodnych współrzędnych wektora prędkości (v _x, v _y, v _z) względem czasu t przez odpowiednie wersory i, j, k, a to z kolei równa się drugiej pochodnej wektora położenia r względem czasu, co jest równe wektorowi przyspieszenia a}

Wektor przyspieszenia możemy zapisać jako sumę dwóch prostopadłych do siebie składowych stycznej \( \vec{a_s} \) i normalnej \( \vec{a_n} \):

\( \vec{a} = \vec{a_s} + \vec{a_n} = [a_s; a_n] \)
(2.5.2)

{wektor przyspieszenia a> równa się sumie wektora przyspieszenia stycznego a_s i wektora przyspieszenia normalnego a_n}

Składowa styczna i normalna przyspieszenia

Rysunek 2.5.1. Składowa styczna i normalna przyspieszenia

{Na rysunku przedstawiony został okrąg o promieniu R i fragment krzywoliniowego toru, który ma jeden punkt wspólny z okręgiem. W punkcie styczności zaczepione są wektory: v,  a, a _s, a _n. Wektory: v  i as są styczne do okręgu i do toru i ma ją ten sam zwrot. Wektor a _n jest prostopadły do wektora as i ma zwrot do środka okręgu. Wektor a jest sumą wektorową a _s  i a _n, ma kierunek zgodny z kierunkiem przekątnej prostokąta utworzonego przez wektory a _s i jest zaczepiony w punkcie styczności okręgu i toru.}

Składowa styczna przyspieszenia \( \vec{a_s} \) jest zawsze zgodna z aktualnym kierunkiem wektora prędkości, czyli jest styczna do toru w danym punkcie i jest związana ze zmianą wartości prędkości. Ma ten sam zwrot jak wektor prędkości, gdy ruch jest przyspieszony, a przeciwny zwrot w przypadku ruchu opóźnionego. Można pokazać, że wartość \( a_s \) jest równa pochodnej wartości prędkości:

\( a_s = \frac{dv}{dt} \)       
(2.5.3)

{Wartość przyspieszenia stycznego a _s jest równa pochodnej wartości prędkości v względem czasu t}

Składowa normalna przyspieszenia \( \vec{a_n} \) jest skierowana do środka okręgu określającego aktualny promień krzywizny toru. Jest związana ze zmianą kierunku ruchu. Można wykazać, że jej wartość \( a_n \) jest równa kwadratowi wartości prędkości podzielonemu przez promień krzywizny toru \( R \).

\( a_n = \frac{v^2}{R} \)                         
(2.5.4)

{Wartość przyspieszenia normalnego a _n jest równa ilorazowi kwadratu wartości prędkości v przez promień krzywizny R}

Zauważmy, że ciało porusza się ruchem przyspieszonym także wtedy, kiedy bezwzględna wartość jego prędkości nie zmienia się, ale tor jego jest krzywoliniowy. Szczególnym przypadkiem takiego ruchu jest ruch po okręgu. Przyspieszenie normalne w przypadku ruchu po okręgu nazywane jest też przyspieszeniem dośrodkowym.

Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest przyspieszenie ciała poruszającego się ruchem jednostajnym, którego prędkość w ciągu jednostki czasu (sekundy) przyrasta o jednostkę prędkości (metr na sekundę). Jednostkę przyspieszenia zapisujemy w postaci \( 1m/s \) {1 metr na sekundę kwadrat}.