2. Kinematyka

Pochodna wektora położenia względem czasu

Pochodna wektora położenia względem czasu w zadanej chwili  \( t \)  nazywa się prędkością chwilową ciała

{wektor prędkości  jest równy pochodnej wektora położenia r względem czasu t}

Z matematyki wiemy, że pochodna określa lokalną szybkość zmiany funkcji i wyznaczona jest przez styczną do niej w danym punkcie. Naszą funkcją jest położenie ciała, a zmiana tego położenia w czasie wyznacza tor ciała w przestrzeni. Oznacza to, że kierunek wektora prędkości chwilowej pokrywa się ze styczną do toru w danym punkcie, a jego zwrot wyznaczony jest przez znak przyrostu wektora położenia.

Więcej informacji o pochodnych zawiera INDEX - przypomnienie wiadomości z matematyki.

Na Rysunku 2.3.1.1 kolorem czerwonym pokazany jest przykładowy tor ciała w przestrzeni. Rzut toru na płaszczyznę poziomą ma kolor różowy. Kolorem niebieskim zaznaczone są promienie wodzące dla dwóch punktów na torze \( \vec{r} \) i \( \vec{r}{'}, \)  a kolorem zielonym ich różnica, czyli przyrost wektora położenia \( ( \Delta \vec{r}) \).

Rysunek 2.3.1.1. Przykładowy tor ciała w przestrzeni.

{Na rysunku został przedstawiony układ współrzędnych kartezjańskich o osiach X, Y, Z. oś X wskazuje godzinę siódmą, oś Y wskazuje godzinę trzecią, oś Z wskazuje godzinę dwunastą. W układzie tym został narysowany krzywoliniowy tor, na którym obrano dwa punkty. Dwa wektory o początkach w początku układu współrzędnych i końcach w punktach obranych na torze wskazują godzinę pierwszą i drugą i oznaczone są wektorem r i r prim. Wektor, którego początkiem jest koniec wektora r, a końcem koniec wektora r prim został oznaczony delta r. Rzuty wektora delta r na osie układu współrzędnych zostały oznaczone odpowiednio przez delta x, delta y, delta z. Wektor styczny do toru, którego początkiem jest koniec wektora r  został oznaczony jako wektor v.}

Na osiach układu współrzędnych zaznaczone są składowe wektora \( \Delta \vec{r} \)  {wektor delta r} . Zmiana położenia odbywa się w czasie, a więc każdemu punktowi na torze odpowiada określony czas. Kiedy jego różnica zmierza do zera, wektory położenia zbliżają się do siebie, a iloraz przyrostu wektora położenia do przyrostu czasu zmierza do skończonej wartości, która jest właśnie prędkością chwilową ciała. Wektor prędkości zaznaczony jest kolorem fioletowym. Jest on styczny do toru ciała w każdym jego punkcie.