3. Prędkość

Prędkość

Wiemy już jak wyznaczyć położenie punktu materialnego w przestrzeni trójwymiarowej posługując się układem współrzędnych prostokątnych. Ruch - to jednak zmiana tego położenia w czasie, co oznacza, że zarówno długość jak i kierunek wektora położenia są funkcją czasu t.

Zapiszemy to następująco:

\( \vec{r} = \vec{r}(t) = x(t) \cdot \hat{i} + y(t) \cdot \hat{j} + z(t) \cdot \hat{k} \)
(2.3.1)

{wektor  położenia r jest funkcją czasu i równa się sumie iloczynów składowej x jako funkcji czasu razy wersor i, składowej y jako funkcji czasu razy wersor j oraz składowej z jako funkcji czasu razy wersor k}

Podobnie zapisać możemy przyrost wektora położenia w zadanym przedziale czasu \( \Delta{t} \):

\( \Delta \vec{r} = \Delta{x} \cdot \hat{i} + \Delta{y} \cdot \hat{j} + \Delta{z} \cdot \hat{k} \)          
(2.3.2)

{Przyrost wektora położenia r jest równy sumie iloczynów przyrostu x  razy wersor i,  przyrostu y razy wersor j oraz przyrostu z razy wersor k}

Zmianę położenia w jednostce czasu otrzymamy przez podzielenie przyrostu wektora położenia przez przyrost czasu:

\( \frac{ \Delta{r} }{\Delta{t}} = \frac{\Delta{x} } {\Delta{t}} \cdot \hat{i} + \frac{\Delta{y} } {\Delta{t}} \cdot \hat{j} + \frac{\Delta{z} } {\Delta{t}} \cdot \hat{k} \)        
(2.3.3)

{Iloraz przyrostu wektora położenia r przez przyrost czasu t równa się sumie iloczynów przyrostu x przez przyrost t razy wersor i przyrostu y przez przyrost t razy wersor j oraz przyrostu z przez przyrost t razy wersor k}

Kiedy przyrost czasu dąży do zera, iloraz różnicowy (2.3.3) przechodzi w pochodną wektora położenia względem czasu.

\( \displaystyle\lim_ {\Delta{t} \rightarrow{0}} \frac{ \Delta\vec{r} }{ \Delta{t}} = \frac{\vec{dr} }{dt} = \frac{dx}{dt} \cdot \hat{i} + \frac{dy}{dt} \cdot \hat{j} + \frac{dz}{dt} \cdot \hat{k} = \vec{v} \)  
(2.3.4)

{Granica przy przyroście czasu delta t dążącym do zera ilorazu przyrostu wektora położenia r przez przyrost czasu delty t jest równa pochodnej wektora położenia r względem czasu t zapisanej jako iloraz położenia wektora d r przez czas d t, a to z kolei równa się sumie iloczynów pochodnej x względem czasu t razy wersor i pochodnej y względem czasu t razy wersor j oraz pochodnej z względem czasu t razy wersor k}

Nieskończenie małe przyrosty \( \Delta \)  (delta ) wielkości oznaczamy symbolem \( d \)  i nazywamy różniczkami. Iloraz różniczek dwóch wielkości nazywamy pochodną pierwszej z nich względem drugiej.