Przypomnienie wiadomości o wektorach, pochodnych i całkach
1. Wektory
Wektorami nazywamy wielkości, które wyrażamy za pomocą n liczb ustawionych w określonej kolejności, czyli uporządkowanych. Liczby te nazywamy współrzędnymi wektora. Liczba n odpowiada wymiarowi przestrzeni, w której opisujemy wielkości wektorowe. W naszym przypadku najczęściej będzie to przestrzeń trójwymiarowa, chociaż będziemy też opisywać wielkości wektorowe w przestrzeniach o mniejszej i większej niż trzy, liczbie wymiarów.
 Rys.1. Wektor \( \displaystyle \vec{a} \) i przeciwny mu wektor \(- \displaystyle \vec{a} \) |
W przestrzeni trójwymiarowej wektorem jest odcinek posiadający określoną długość, kierunek i zwrot. Wektory przedstawiamy na rysunkach w postaci strzałki i oznaczamy zwykle małą literą z umieszczoną nad nią strzałką, np. \( \displaystyle \vec{a} \), lub dwoma literami (na ogół dużymi), np. AB, gdzie A oznacza początek, a B - koniec wektora. Prosta, na której leży wektor wyznacza jego kierunek, zaś strzałka określa jego zwrot, co ilustruje Rys.1. |
Wektor nazywamy swobodnym, jeśli jego początek nie jest umiejscowiony w określonym punkcie przestrzeni. Wektor taki nie ulega zmianie jeśli jego początek zostanie przesunięty pod warunkiem, że jego długość, kierunek i zwrot nie zmieniają się. W niektórych przypadkach położenie początku wektora jest istotne. Takie wektory nazywamy zaczepionymi, np. wektor, którego początek znajduje się w punkcie A, jest wektorem zaczepionym w tym punkcie.
Wektory o takich samych długościach i takich samych kierunkach, ale przeciwnych zwrotach nazywamy wektorami przeciwnymi. Mamy więc
| \( \displaystyle AB=\vec{a} ,\ BA\ =-\vec{a} \) | (1) |
 Rys.2. Wersor \( \displaystyle \hat{k} \) i wyrażony z jego pomocą wektor \( \displaystyle \vec{a} \) |
Wektor o długości jednostkowej nazywamy wersorem i oznaczamy na ogół małą literą z "daszkiem" np. \(\displaystyle \hat{k} \). Jeżeli kierunek wektora zgodny jest z kierunkiem danego wersora to możemy wektor ten zapisać w postaci \( \displaystyle \ \vec{a} =a\cdot \hat{k} \), gdzie \( a \) jest wielkością skalarną (liczbą) równą długości wektora \( \displaystyle \vec{a} \) Długość (moduł) wektora oznaczamy też jako \( \displaystyle \ \left| \vec{a}\right| \) . |
 Rys.3. Suma \( \displaystyle \vec{c} \) i różnica \( \displaystyle \vec{d} \) wektorów \( \displaystyle \vec{a} \) i \( \displaystyle \vec{b} \) |
Sumą dwóch wektorów \( \displaystyle \vec{a} \) i \( \displaystyle \vec{b} \) jest wektor \( \displaystyle \vec{c} \) stanowiący przekątną równoległoboku skonstruowanego w ten sposób, że jeden z wektorów przesuwamy równolegle do jego kierunku tak, by początek tego wektora pokrył się z końcem drugiego. Sumę wielu wektorów (wypadkową) otrzymujemy dodając do sumy dwóch pierwszych wektorów następny wektor itd. Różnica dwóch wektorów \( \displaystyle \vec{d} \) to suma wektora pierwszego i wektora przeciwnego do wektora drugiego tzn. \( \displaystyle \ \vec{a} -\vec{b} \ =\vec{a} \ +\left( -\vec{b}\right) \), Ilustruje to Rys. 3 gdzie różnicą wektorów \( \displaystyle \vec{a} \) i \( \displaystyle \vec{b} \) jest wektor \( \displaystyle \vec{d} \). |
Iloczyn danego wektora \( \displaystyle \vec{a} \) przez skalar s, to inny wektor \( \displaystyle \ \ \vec{c} =s\cdot \vec{a} \) o tym samym kierunku, ale długości stanowiącej iloczyn długości wektora \( \displaystyle \vec{a} \) przez wartość skalara s i zwrocie zgodnym ze zwrotem wektora \( \displaystyle \vec{a} \) jeśli s>0 i przeciwnym gdy s<0.
 Rys.4. Wielkości określające iloczyn skalarny wektorów \( \displaystyle \vec{a} \) i \( \displaystyle \vec{b} \) |
Iloczyn skalarny dwóch wektorów \( \displaystyle \vec{a} \) i \( \displaystyle \vec{b} \) jest liczbą (skalarem) określonym przez iloczyn
|
Iloczyn wektorowy wektorów \( \displaystyle \vec{a} \) i \( \displaystyle \vec{b} \), to taki wektor \( \displaystyle \vec{c} \), którego długość wynosi
| \( \displaystyle \ \left| \vec{c}\right| =a\cdot b\cdot | sin\ \alpha | \) | (3) |
a kierunek jest prostopadły do kierunków obu wektorów \( \displaystyle \vec{a} \) i \( \displaystyle \vec{b} \). Zależności te pokazane są na Rys.5. Widać, że długość wektora \( \displaystyle \vec{a} \) równa jest polu równoległoboku wyznaczonemu przez wektory \( \displaystyle \vec{a} \) i \( \displaystyle \vec{b} \).
 Rys.5. Wyznaczenie iloczynu wektorowego |
Zwrot wektora \( \displaystyle \vec{c} \) jest taki, by układ wektorów \( \displaystyle \vec{a} \) , \( \displaystyle \vec{b} \) i \( \displaystyle \vec{c} \) był prawoskrętny. Układ jest prawoskrętny kiedy kierunek wektora \( \displaystyle \vec{c} \) zgodny jest z kierunkiem wkręcania śruby prawoskrętnej przy najkrótszym obrocie wektora \( \displaystyle \vec{a} \) do położenia wektora \( \displaystyle \vec{b} \). Inaczej mówiąc - kiedy najkrótszy obrót wektora \( \displaystyle \vec{a} \) do położenia wektora \( \displaystyle \vec{b} \) odpowiada kierunkowi zginania palców prawej ręki, to kciuk wskazuje kierunek wektora \( \displaystyle \vec{c} \). Należy pamiętać, że dla iloczynu wektorowego \( \displaystyle \ \vec{a} \times \vec{b} =-\vec{b} \times \vec{a} \), tj. nie zachodzi prawo przemienności. |
Podwójny iloczyn wektorowy może być zapisany w postaci
| \( \displaystyle \ \vec{a} \times \left(\vec{b} \times \vec{c} \ \right) =\ \vec{b} \cdot \ \left(\vec{a} \cdot \vec{c}\right) \ -\vec{c} \ \cdot \left(\vec{a} \cdot \vec{b}\right) \) | (4) |
Wektory w układzie współrzędnych prostokątnych.
 Rys.6. Wektor \( \displaystyle \vec{a} \) i jego składowe w układzie współrzędnych prostokątnych |
Trójwymiarowy układ współrzędnych prostokątnych tworzą trzy osie wzajemnie prostopadłe przecinające się w jednym punkcie stanowiącym początek układu współrzędnych. Na osiach obiera się jednostki miary, a kierunki osi X,Y,Z określone są odpowiednio przez wersory \( \displaystyle \ \hat{i} ,\hat{j} ,\hat{k} \), Rys. 5. Tak określony układ jest układem prawoskrętnym tj. ruch obrotowy od osi X w kierunku osi Y powoduje przesuwanie się śruby prawoskrętnej w kierunku osi Z. |
Każdy wektor można przedstawić w układzie współrzędnych prostokątnych w postaci sumy trzech wektorów składowych. Na rysunku 6 pokazane są składowe wektora \( \displaystyle \vec{a} \), które oznaczamy: \( \displaystyle \ \overrightarrow{a_{x}} ,\overrightarrow{a_{y}} ,\overrightarrow{a_{z}} \). Wektor \( \displaystyle \vec{a} \) jest sumą
| \( \displaystyle \ \vec{a} =\overrightarrow{a_{x}} +\overrightarrow{a_{y}} +\overrightarrow{a_{z}} =a_{x} \cdot \hat{i} +a_{y} \cdot \hat{j} +a_{z} \cdot \hat{k} \) | (5) |
Wielkości skalarne \( \displaystyle a_{x} ,a_{y} ,a_{z} \) nazywamy współrzędnymi wektora \( \displaystyle \vec{a} \). Wielkości te również określają wektor, co zapisujemy w postaci \( \displaystyle ( a_{x} ,a_{y} ,a_{z}) \) .
Długość wektora można wyznaczyć łatwo za pomocą jego współrzędnych, np. obliczając kwadrat wektora \( \displaystyle \vec{a} \) na podstawie wzoru ( 5) mamy
| \( \displaystyle a^{2} =a^{2}_{x} +a^{2}_{y} +a^{2}_{z} \) , czyli \( \displaystyle a=\sqrt{a^{2}_{x} +a^{2}_{y} +a^{2}_{z}} \) | (6) |
(Przy podnoszeniu do kwadratu wzięliśmy pod uwagę, na podstawie wzoru (2), że kwadrat wektora to kwadrat jego długości, a iloczyny skalarne dwóch różnych składowych są równe zeru, bowiem kąt miedzy nimi jest kątem prostym, wiec jego cosinus równy jest zeru.)
Długość wektora w układzie współrzędnych prostokątnych równa jest więc pierwiastkowi z sumy kwadratów jego współrzędnych.
W układzie współrzędnych prostokątnych wyjątkowo łatwo wykonuje się operacje na wektorach. Współrzędne wektora \( \displaystyle \vec{a} \) będącego sumą \( \displaystyle \vec{c} =\vec{a} +\vec{b} \) wyrażają się poprzez sumy współrzędnych wektorów \( \displaystyle \vec{a} \) i \( \displaystyle \vec{b} \)
| \( \displaystyle c_{x} =a_{x} +b_{x} \) , \( \displaystyle c_{y} =a_{y} +b_{y} \) , \( \displaystyle c_{z} =a_{z} +b_{z} \) | (7) |
W podobny sposób zapisujemy współrzędne różnicy wektorów.
Równie łatwo wyrazić jest wartość iloczynu skalarnego \( \displaystyle \vec{c} =\vec{a} \cdot \vec{b} \)
| \( \displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} =a_{x} \cdot b_{x} +a_{y} \cdot b_{y} +a_{z} \cdot b_{z} \) | (8) |
| \( \displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}} \vec{a} \times \vec{b} =\left( a_{x} \cdot \hat{i} +a_{y} \cdot \hat{j} +a_{z} \cdot \hat{k}\right) \times \left( b_{x} \cdot \hat{i} +b_{y} \cdot \hat{j} +b_{z} \cdot \hat{k}\right) =\\ \ \ \ \ \ \ \ \ =\hat{i} \cdot ( a_{y} \cdot b_{z} -a_{z} \cdot b_{y}) +\hat{j} \cdot ( a_{z} \cdot b_{x} -a_{x} \cdot b_{z}) +\hat{k} \cdot ( a_{x} \cdot b_{y} -a_{y} \cdot b_{x}) \end{array} \) | (5) |
(Dla otrzymania tego wyniku trzeba (pracowicie) wykonać serię mnożeń poszczególnych składników, zauważyć, że zamiana kolejności mnożenia dwóch wersorów odpowiada zmianie znaku wersora trzeciego, a następnie uporządkować wyrazy otrzymanego wyrażenia.)