3. Dynamika

Zadanie 6 (warunek określonego ruchu)

Dwa ciała o masach \( m_1 \) i \( m_2 \) połączono nicią, która przerzucona jest przez bloczek znajdujący się w wierzchołku równi pochyłej o kącie nachylenia α. Współczynnik tarcia między ciałem o masie \( m_2 \) i równią wynosi \( \mu \). Masę bloczka należy zaniedbać.

Jaka powinna być masa \( m_1 \), aby ciało o masie \( m_2 \) poruszało się ruchem jednostajnie przyspieszonym:

a)    w górę równi,

b)    w dół równi.

Rozwiązanie:

a)    Masa \( m_2 \) porusza się w górę równi

{Na wierzchołku równi o kącie nachylenia alfa zamontowany jest bloczek. Do prawego końca nitki przerzuconej przez bloczek doczepiono klocek m 2, a do lewego klocek m 1, który wisi. Do klocka m_1 zaczepiona jest siła F_g_1 skierowana pionowo w dół. Wzdłuż nitki działają siły N. Do klocka o masie m_2 znajdującego się na równi przyłożone są siły. Siła ciężkości F_g_2 skierowana jest pionowo w dół. Składowa siły ciężkości F_x jest równoległa do równi i skierowana w dół równi. Składowa siły ciężkości F_y jest prostopadła do równi i wskazuje godzinę siódmą. Siły F_x i F_y tworzą prostokąt, którego siła ciężkości F_g_2 jest przekątną. Siła tarcia T jest równoległa do równi i skierowana w dół równi. Siła reakcji F_r jest prostopadła do równi, ma taką samą długość jak F_y, ale przeciwny zwrot wskazując godzinę pierwszą.}

a)     Siłę ciężkości \( \vec{F_{g2}} \) rozkładamy na składowe: równoległą do równi \( \vec{F_{x}} \) i prostopadłą do równi \( \vec{F_{y}} \).

\( F_x=F_{g2}sin\alpha=m_2gsin\alpha \)

{Składowa siły ciężkości F_x jest równa iloczynowi siły ciężkości F_g_2 i sinusa kąta alfa, który jest równy iloczynowi masy m_2, przyspieszenia ziemskiego g i sinusa kąta alfa}

\( F_y=F_{g2}cos\alpha=m_2gcos\alpha \)

{Składowa siły ciężkości F_y jest równa iloczynowi siły F_g_2 i cosinusa kąta alfa, który jest równy iloczynowi masy m_2, przyspieszenia ziemskiego g i cosinusa kąta alfa}

Siła sprężystości podłoża (siła reakcji) \( \vec{F_r} \) jest równa sile nacisku i w tym przypadku jest równa \( \vec{F_y} \).

Równania ruchu Newtona:

\( m_1\cdot a=m_1\cdot g-N \)

{Iloczyn masy m_1 i przyspieszenia a jest równy różnicy iloczynu masy m_1 i przyspieszenia ziemskiego g oraz siły N}

\( m_2\cdot a=N-m_2\cdot g\cdot s i n{\alpha}-m_2\cdot g\cdot\mu\cdot c o s{\alpha} \)

{Iloczyn masy m_2 i przyspieszenia a jest równy sile N minus iloczyn masy m_2, przyspieszenia ziemskiego g i sinusa kąta alfa i minus iloczyn masy m_2, przyspieszenia ziemskiego g, współczynnika tarcia mi i cosinusa kąta alfa}

stąd

\( a=\frac{m_1-m_2\cdot\left(sin{\alpha}+\mu\cdot c o s{\alpha}\right)}{m_1+m_2}\cdot g \)

{Przyspieszenie a równa się g pomnożonemu przez ułamek, którego licznik jest różnicą masy m_1 oraz iloczynu masy m_2 przez sumę sinusa kąta alfa i pomnożonego przez współczynnik tarcia mi cosinusa kąta alfa. Mianownikiem ułamka jest suma masy m_1 i masy m_2}

Z warunku ruchu, \( a > 0 \) {przyspieszenie a jest większe od zera}, otrzymujemy zależność:

\( m_1>m_2\cdot\left(sin{\alpha}+\mu\cdot c o s{\alpha}\right) \)

{Masa m_1 jest większa od iloczynu masy m_2 oraz sumy sinusa kąta alfa i pomnożonego przez współczynnik tarcia mi cosinusa kąta alfa}

b)    Masa m₂ porusza się w dół równi

{Na wierzchołku równi zamontowany jest bloczek. Do prawego końca nitki przerzuconej przez bloczek doczepiono klocek m_2, a do lewego klocek m_1, który wisi. Do klocka m_1 zaczepiona jest siła F_g_1 skierowana pionowo w dół. Wzdłuż nitki działają siły N. Do klocka o masie m_2 znajdującego się na równi przyłożone są siły. Siła F_g_2 skierowana jest pionowo w dół. Składowa siły ciężkości F_x jest równoległa do równi i skierowana w dół równi. Składowa siły ciężkości F_y jest prostopadła do równi i wskazuje godzinę siódmą. F_x i F_y tworzą prostokąt, którego siła ciężkości F g 2 jest przekątną. Siła tarcia T jest równoległa do równi i skierowana w górę równi. Siła F_r jest prostopadła do równi, ma taką samą długość jak F_y, ale przeciwny zwrot wskazując godzinę pierwszą.}

 \( m_2 \cdot a = m_2 \cdot g \cdot sin \alpha-N-m_2 \cdot g \cdot \mu \cdot cos \alpha \)

{Iloczyn masy m_2 i przyspieszenia a jest równy iloczynowi masy m_2, przyspieszenia ziemskiego g i sinusa kąta alfa minus siła N i minus iloczyn masy m_2, przyspieszenia ziemskiego g, współczynnika tarcia mi i cosinusa kąta alfa}

Stąd

\( a=\frac{m_1-m_2\cdot\left(sin{\alpha}+\mu\cdot c o s{\alpha}\right)}{m_1+m_2}\cdot g \)

{Przyspieszenie a równa się przyspieszeniu ziemskiemu g pomnożonemu przez ułamek, którego licznik jest różnicą iloczynu masy m_2 przez różnicę sinusa kąta alfa i pomnożonego przez współczynnik tarcia mi cosinusa kąta alfa oraz masy m_1. Mianownikiem ułamka jest suma masy m_1 i masy m_2}

Z warunku ruchu, \( a > 0 \) {przyspieszenie a jest większe od zera}, otrzymujemy zależność:

\( m_1 \lt m_2\cdot\left(sin{\alpha}-\mu\cdot c o s{\alpha}\right) \)

{Masa m_1 jest mniejsza od iloczynu masy m_2 przez różnicę sinusa kąta alfa i pomnożonego przez współczynnik tarcia mi cosinusa kąta alfa}

oraz

\( \mu < tan \alpha \)

{Współczynnik tarcia mi jest mniejszy od tangensa kąta alfa}