3. Dynamika

Zadanie 3 (Tarcie - równia pochyła)

Na równi pochyłej o długości \( L \) i kącie nachylenia \( \alpha = {30}^o \) znajduje się klocek o masie \( M \). Do klocka została przyłożona siła \( \vec{F_0} \) równoległa do równi. Klocek porusza się w dół równi ze stałą prędkością.

a)    Narysuj wszystkie siły działające na klocek.

b)    Znajdź współczynnik tarcia klocka o równię.

{Na równi znajduje się klocek, do którego przyłożona jest siła F_0. Siła jest równoległa do równi i skierowana w dół}

Rozwiązanie:

{Do klocka znajdującego się na równi przyłożone są siły. Siła ciężkości F_g skierowana jest pionowo w dół. Składowa siły ciężkości F_x jest równoległa do równi i skierowana w dół równi. Składowa siły ciężkości F_y jest prostopadła do równi i wskazuje godzinę siódmą. F_x i F_y tworzą prostokąt, którego siła ciężkości F_g jest przekątną. Siła tarcia T jest równoległa do równi i skierowana w górę równi. Siła reakcji F_r jest prostopadła do równi, ma taką samą długość jak siła F_y, ale przeciwny zwrot wskazując godzinę pierwszą. Siła F_0 jest równoległa do równi i skierowana w dół}

\( \vec{F_r} \) – siła sprężystości podłoża (siła reakcji)

\( \vec{T} \) – siła tarcia

\( \vec{F_g} \) – siła ciężkości

\( \vec{F_x} \) - składowa siły ciężkości równoległa do równi

\( \vec{F_y} \) - składowa siły ciężkości prostopadła do równi

Rozkładamy siłę ciężkości na składowe:

\( F_x=F_gsinα=Mgsin30°= \frac{1}{2}Mg \)

{Składowa siły ciężkości F_x jest równa iloczynowi siły ciężkości F_g i sinusa kąta alfa, który jest równy iloczynowi masy M, przyspieszenia ziemskiego g i sinusa 30 stopni, a to jest równe połowie iloczynu masy M i przyspieszenia ziemskiego g}

\( F_y=F_gcosα=Mgcos30°= \frac{\sqrt{3}}{2}Mg \)

{Składowa siły ciężkości F_y jest równa iloczynowi siły ciężkości F_g i cosinusa kąta alfa, który jest równy iloczynowi masy M, przyspieszenia ziemskiego g i cosinusa 30 stopni, a to jest równe połowie iloczynu pierwiastka z 3, masy M i przyspieszenia ziemskiego g}

Ponieważ klocek porusza się ze stałą prędkością, to z I zasady dynamiki wynika, że wypadkowa siła działająca na klocek jest równa zeru, czyli wszystkie siły równoważą się.

W kierunku prostopadłym do równi:

\( {\vec{F}}_r+{\vec{F}}_y=0 \)

{Suma wektora siły reakcji F_r i wektora składowej siły ciężkości F_y jest równa zeru}

W kierunku równoległym do równi:

\( \vec{T}+{\vec{F}}_0+{\vec{F}}_x=0 \)

{Suma wektorów siły tarcia T, siły F_0 i składowej siły ciężkości F_x jest równa zeru}

Siła tarcia ma przeciwny zwrot do sił \( \vec{F_0} \) i \( \vec{F_x} \), więc:

\( T=F_0+F_x \)

{Siła tarcia T jest równe sumie siły F_0 i siły F_x}

Ponieważ siła tarcia wyraża się wzorem:

\( T={\mu F}_y \)

{Siła tarcia T jest równa iloczynowi współczynnika tarcia mi i siły F_y}

Stąd

\( {\mu F}_y=F_0+F_x \)

{iloczyn współczynnika tarcia mi i siły F_y jest równy sumie siły F_0 i siły F_x}

Podstawiając obliczone wcześniej \( F_x \) i \( F_y \):

\( \mu\frac{\sqrt{3}}{2}Mg=F_0+\frac{1}{2}Mg \)

{Połowa iloczynu pierwiastka z 3, masy M, przyspieszenia ziemskiego g i współczynnika tarcia mi jest równa sumie siły F_0 i połowy iloczynu masy M i przyspieszenia ziemskiego g}

Ostatecznie

\( \mu=\frac{2F_0+Mg}{\sqrt3Mg} \)

{współczynnik tarcia mi jest równy ilorazowi sumy podwojonej siły F_0 i iloczynu masy M i przyspieszenia ziemskiego g przez iloczyn pierwiastka z 3, masy M i przyspieszenia ziemskiego g}