3. Dynamika
14. Moment bezwładności bryły sztywnej
Moment bezwładności bryły sztywnej
Ciało sztywne traktujemy jako układ nieskończenie wielu punktów materialnych, których wzajemne odległości pozostają niezmienione w czasie ruchu. Moment bezwładności dla ciała sztywnego wyznaczymy zastępując sumowanie we wzorze (3.13.5) całkowaniem po całej objętości ciała.
Przykładowe momenty bezwładności dla kilku typowych brył podano poniżej.
Tabela 3. Momenty bezwładności
|
Kula o promieniu R względem osi przechodzącej przechodzi przez środek |
Walec o masie m, promieniu R i wysokości h względem osi zawierającej wysokość walca |
Pręt o masie m i długości L względem osi przechodzącej przez jego środek i prostopadłej do niego |
|---|---|---|
|
\( I=\frac{2}{5}\cdot mR^2 \) {moment bezwładności I równy jest dwie piąte iloczynu masy m i kwadratu promienia R} |
\( I=\frac{1}{2}\cdot mR^2 \) {moment bezwładności I równy jest połowie
iloczynu masy m i kwadratu promienia R} |
\( I=\frac{1}{12}\cdot mL^2 \) {moment bezwładności I równy jest jednej
dwunastej iloczynu masy m i kwadratowi długości L} |
Zwróćmy uwagę, że o ile masa danego ciała określona jest jednoznacznie, to moment bezwładności jest różny dla różnych osi obrotu. Można pokazać, że jeśli znany jest moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała \( I_{sm} \), to moment bezwładności względem osi do niej równoległej i przesuniętej o odcinek \( d \) (Rysunek 3.14.1) dany jest wzorem:
{Moment bezwładności I jest równy sumie momentu bezwładności I_s_m oraz iloczynu masy M przez kwadrat przesunięcia d}
Wzór ten nosi nazwę twierdzenia Steinera.
Rysunek 3.14.1. Twierdzenie Steinera
{Na rysunku przedstawiony został walec ustawiony pionowo oraz dwie równoległe linie proste. Jedna z nich zawiera wysokość walca i jest jego osią symetrii. Moment bezwładności względem niej został oznaczony I_s_m. Druga prosta znajduje się po prawej stronie walca, poza nim. Moment bezwładności względem niej został oznaczony I. Odległość między prostymi oznaczono przez d.}
Przykład
Trzy punkty materialne o masach \( m_1 \), \( m_2 \) i \( m_3 \) oraz kula o masie \( m_k \) i promieniu \( R_k \) są połączone ze sobą i z osią obrotu trzema jednorodnymi prętami, każdy o masie \( M \) i długościach odpowiednio \( l \), \( s \) i \( d \). Układ obraca się względem osi obrotu z prędkością kątową \( \omega_0 \) {omega 0} względem osi prostopadłej do płaszczyzny rysunku i przechodzącej przez punkt \( O \). Obliczyć moment bezwładności względem osi \( O \).
{Rysunek zawiera trzy punkty, trzy odcinki i kulę. Punkt O oznaczony jako m_2 i będący osią jest początkiem odcinka o długości s ustawionego na godzinę trzecią. Drugim końcem odcinka s jest punkt m 3. Punkt m_3 jest jednocześnie początkiem odcinka d, który leży przedłużeniu odcinka s. Na drugim końcu odcinka d znajduje się kula o masie m_k. Środek tej kuli oraz punkty m_3 i m_2 są współliniowe. Punkt O oznaczony jako m_2 jest również początkiem odcinka o długości l ustawionego na godzinę piątą. Drugim końcem odcinka l jest punkt m_1.}
Rozwiązanie:
Korzystamy z twierdzenia Steinera i wzorów podanych w Tabeli 3. Moment bezwładności układu jest sumą momentów bezwładności każdego z elementów układu.
Moment bezwładności kuli:
\( I_k=\frac{2}{5}m_k\cdot R_k^2+m_k{\cdot\left(d+s+R_k\right)}^2 \)
{Moment bezwładności I_k równa się sumie dwóm piątym iloczynu ułamka masy m_k przez kwadrat promienia R_k oraz iloczynu masy m_k przez kwadrat sumy długości d, długości s i promienia R_k}
Moment bezwładności punktów materialnych:
\( I_{pm}={m_1\cdot l^2+m}_2\cdot0^2+m_3\cdot s^2 \)
{Moment bezwładności I_p_m równa się sumie iloczynu masy m_1 i kwadratu długości l, iloczynu masy m_2 i zera oraz iloczynu masy m_3 przez kwadrat długości s}
Moment bezwładności prętów:
\( I_{pr}=\left[\frac{1}{12}M\cdot l^2+M\cdot\left(\frac{1}{2}l\right)^2\right]+\left[\frac{1}{12}M\cdot s^2+M{\cdot\left(\frac{1}{2}s\right)}^2\right]+\left[\frac{1}{12}M{\cdot d}^2+M\cdot\left(\frac{1}{2}d+s\right)^2\right] \)
{Moment bezwładności I_p_r równa się sumie jednej dwunastej iloczynu masy M przez kwadrat długości l , iloczynu masy M przez kwadrat połowy długości l, iloczynu masy M przez kwadrat długości s podzielonemu przez 12, iloczynu masy M przez kwadrat połowy długości s , iloczynu M przez kwadrat d podzielonemu przez 12 oraz iloczynu masy M przez kwadrat sumy połowy długości d i długości s}
Całkowity moment bezwładności układu:
\( I_u=I_k+I_{pm}+I_{pr} \)
{Moment bezwładności I_u równa się sumie momentu bezwładności I_k, momentu bezwładności I_p_m oraz momentu bezwładności I_p_r}
Domowe Laboratorium Fizyczne
Na zakończenie - proste doświadczenie w domowym laboratorium fizycznym. Najpierw zastanów się jaka będzie odpowiedź na zawarte poniżej pytania, potem zobacz demonstrację, następnie postaraj się poprzeć swe obserwacje rachunkowo.
Rysunek 3.14.3. Szpulka z nitką
{Na ilustracji pokazana jest szpulka leżąca na podłodze, na którą nawinięta została nitka. Nitka wychodząca z dolnej części szpulki jest ustawiona na godzinę siódmą i ciągnięta przez narysowaną dłoń.}
Odpowiedz - gdy ciągniemy za nić nawiniętą na szpulce, jak to jest pokazane na powyższym rysunku, to czy nić będzie się:
1. nawijać - szpulka potoczy się w lewo,
2. odwijać - szpulka potoczy się w prawo,
3. ani nawijać, ani odwijać - szpulka przesunie się w lewo bez toczenia?
Od czego to będzie zależeć, np.: od masy szpulki, ilości nawiniętej na szpulce nici, kąta pomiędzy kierunkiem ciągniętej nici i płaszczyzną stołu, współczynnika tarcia szpulki o stół, od czegoś innego jeszcze...?