3. Dynamika

13. Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Energia kinetyczna ruchu obrotowego

Energia kinetyczna \( E_k \) punktu materialnego równa jest połowie iloczynu jego masy \( m \) przez kwadrat jego prędkości \( v \):

\( E_k=\frac{m\cdot v^2}{2} \)

( 3.13.1)

{Energia kinetyczna E_k jest równa połowie iloczynu masy m przez drugą potęgę prędkości v}

Energia kinetyczna posiada własność addytywności. Oznacza to, że energia kinetyczna układu \( N \) punktów materialnych równa jest sumie ich energii kinetycznych.

\( E_k=\displaystyle\sum_{i=1}^{N}E_{ki}=\sum_{i=1}^{N}\frac{m_i\cdot{v_i}^2}{2} \)

(3.13.2)

{Energia kinetyczna E_k jest równa sumie po i zmieniającym się od 1 do N energii kinetycznych E_k_i która jest równa sumie po i zmieniającym się od 1 do N z połowy iloczynu mas m_i przez kwadrat prędkości v_i}

Rozważmy ruch obrotowy układu sztywno związanych punktów materialnych. Typowym przykładem takiego układu jest ciało sztywne. Pamiętamy, że w ruchu obrotowym prędkość \( v_i \) poruszającego się punktu \( i \) zależna jest od jego odległości od osi obrotu \( r_i \), natomiast prędkość kątowa \( \omega \) jest dla wszystkich punktów taka sama. Prędkość liniowa punktu \( i \) wiąże się z prędkością kątową:

\( v_i=r_i\cdot\omega \)

(3.13.3)

{Wartość prędkości v_i jest równa iloczynowi odległości od osi obrotu r_i oraz wartości prędkości kątowej omega}

Wykorzystamy te informacje zapisując wyrażenie dla energii kinetycznej układu punktów materialnych będących w ruchu obrotowym.

\( E_k=\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{1}{2}\cdot m_i\cdot\omega^2\cdot{r_i}^2\right)=\frac{1}{2}\cdot\omega^2\cdot\sum_{i=1}^{N}\left(m_i\cdot{r_i}^2\right) \)

(3.13.4)

{Energia kinetyczna E_k jest równa sumie po i zmieniającym się od 1 do N z połowy iloczynu masy m_i przez kwadrat prędkości kątowej omega i kwadrat odległości od osi obrotu r_i. To z kolei jest równe połowie iloczynu kwadratu prędkości kątowej omega przez sumę po i zmieniającym się od 1 do N z iloczynu masy m_i przez kwadrat odległości od osi obrotu r_i.}

Rozpoznajemy tu wprowadzoną wzorem (3.12.6) wielkość \( I \) zwaną momentem bezwładności, która dla układu punktów materialnych określona jest wyrażeniem

\( I=\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\left(m_i\cdot{r_i}^2\right) \)

(3.13.5)

{Moment bezwładności I równa się sumie po i zmieniającym się od 1 do N z iloczynu masy m_i oraz kwadratu odległości od osi obrotu r_i}

Zwróćmy uwagę, że moment bezwładności nie stanowi własności ciała, jak np. masa. W jego określeniu występuje bowiem kwadrat odległości od osi względem której następuje obrót, jest więc zależny od położenia w przestrzeni. Można powiedzieć, że moment bezwładności względem danej osi obrotu jest określany przez sposób przestrzennego rozłożenia masy względem tej osi w kierunku do niej prostopadłym.

Energię kinetyczną ruchu obrotowego sztywnego układu punktów materialnych wyrażamy więc wzorem

\( E_k=\frac{1}{2}\cdot I\cdot\omega^2 \)

(3.13.6)

{Energia kinetyczna E_k jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności I oraz kwadratu prędkości kątowej omega}

Wzór na energię kinetyczną w ruchu obrotowym ma podobną postać do wzoru (3.7.2.1), ale prędkość zastąpiła prędkość kątowa, a masę zastąpił moment bezwładności.