3. Dynamika

Zderzenia sprężyste

• Rozpatrzymy przykład sprężystego zderzenia centralnego, na przykładzie zderzenia kul o masach \( m_1 \) i \( m_2 \) poruszających się wzdłuż jednej prostej z prędkościami \( v_1 \) i \( v_2 \) w danym układzie odniesienia.

Rysunek 3.10.1.1. Kule poruszające się z różnymi prędkościami wzdłuż jednej prostej \( m_1 \) i  \( v_1 \) oraz iloczynu \( m_2 \) i  \( v_2 \)

{Do obu kul zaczepione są wektory prędkości o kierunku poziomym i zwrocie w prawo. Kula mniejszej o masie m_1 znajduje się z lewej strony i ma prędkość v_1. Kula większa o masie m_2 znajduje się z prawej strony i ma prędkość v_2}

Zapiszmy prawa zachowania. Mówią one, że suma pędów oraz energii kinetycznych przed i po zderzeniu są sobie równe. Oznaczymy prędkości kul po zderzeniu odpowiednio \( v_{1k} \) i \( v_{2k} \). Rozpatrujemy przypadek jednowymiarowy, wiec zasadę zachowania pędu zapiszemy w postaci skalarnej zakładając, że zwroty wszystkich wektorów pędów są jednakowe.

Prawo zachowania pędu:

{Suma iloczynu masy m_1 i prędkości v_1 oraz iloczynu masy m_2 i prędkości v_2 jest równa sumie iloczynu masy m_1 i prędkości v_1_k oraz iloczynu masy m_2 i prędkości v_2_k}

Prawo zachowania energii:

{Suma połowy iloczynu masy m_1 przez drugą potęgę prędkości v_1 oraz połowy iloczynu masy m_2 przez drugą potęgę prędkości v_2 jest równa sumie połowy iloczynu masy m_1 przez drugą potęgę prędkości v_1_k oraz połowy iloczynu masy m_2 przez drugą potęgę prędkości v_2_k}

Przepiszmy te równania nieco inaczej przenosząc na prawą stronę wyrazy z \( m_1 \), a na prawą wyrazy z \( m_2 \). Równanie (3.10.1.1) zapisujemy w postaci:

{IIloczyn masy m_1 przez różnicę prędkości v_1 i prędkości v_1_k jest równy iloczynowi masy m_2 przez różnicę prędkości v_2_k i prędkości v 2}

Analogicznie przepisujemy równanie (3.10.1.2)

{Iloczyn masy m_1 przez różnicę kwadratów prędkości v_1 i prędkości v_1_k jest równy iloczynowi masy m_2 przez różnicę kwadratów prędkości v_2_k i prędkości v_2}

Dzieląc stronami równanie (3.10.1.4) przez (3.10.1.3) i wykonując elementarne działania arytmetyczne otrzymujemy związek, który jest niezależny od mas zderzających się kul. (Zakładamy, że różnice prędkości w równaniu (3.10.1.3) nie są równe zeru.)

{Suma prędkości v_1 i prędkości v_1_k jest równa sumie prędkości v_2 i prędkości v_2_k}

Związek ten można przepisać w postaci:

{Różnica prędkości v_1 i prędkości v_2 jest równa różnicy prędkości v_2_k i prędkości v_1_k}

Prędkość zbliżania się kul przed zderzeniem równa jest prędkości ich oddalania się po zderzeniu czyli ich prędkości względne przed i po zderzeniu są takie same.

Możemy teraz wyznaczyć prędkości kul po zderzeniu. Z równania (3.10.1.6) widać, że

{Prędkości v_2_k jest równa prędkości v_1 minus prędkość v_2 plus prędkości v_1_k}

Podstawiając to do równania (3.10.1.7) możemy wyznaczyć prędkość pierwszej kuli po zderzeniu:

{Prędkość v_1_k jest równa sumie iloczynu prędkości v_1 i ilorazu różnicy masy m_1 i masy m_2 przez sumę masy m_1 i masy m_2 oraz iloczynu prędkości v_2 i podwojonego ilorazu masy m_2 przez sumę masy m_1 i masy m_2}

Podobnie uzyskuje się wzór na prędkość drugiej kuli po zderzeniu

{Prędkość v_2_k jest równa sumie iloczynu prędkości v_2 i ilorazu różnicy masy m_2 i masy m_1 przez sumę masy m_1 i masy m_2 oraz iloczynu prędkości v_1 i podwojonego ilorazu masy m_1 przez sumę masy m_1 i masy m_2}

Uzyskaliśmy poszukiwane wzory ogólne na prędkości kul po zderzeniu. Rozpatrzmy teraz kilka szczególnych i ciekawych przypadków podstawiając założone warunki do wzorów (3.10.1.8) i (3.10.1.9). Zamieszczona poniżej tabela określa te warunki i pokazuje ich ilustrację graficzną przed i po zderzeniu.

Tabela 2. Różne przypadki zderzeń sprężystych kul