3. Dynamika

Siły zachowawcze i dyssypatywne

Na Rysunku 3.6.1 przedstawiono schematycznie trasę narciarza, który wchodzi na górę o wysokości \( h \) z lewej strony wzniesienia (odcinek 1 - 2) przechodzi poziomy fragment trasy (odcinek 2 - 3), zjeżdża z prawej (odcinek 3 - 4), a następnie wraca do punktu wyjścia (odcinek 4 - 1).

Rysunek 3.6.1. Schemat zamkniętego toru narciarza. Podane są wartości pracy wykonanej przez siłę ciężkości na poszczególnych odcinkach toru.

{Tor narciarza ma kształt trapezu o dłuższej podstawie 1-4; krótszej podstawie 2-3, lewym dłuższym ramieniu 1-2 i prawym krótszym ramieniu 3-4. Wektor siły ciężkości ma kierunek pionowy i zwrot w dół. Wektory d s są równoległe do ramion trapezu. Wektor d s dla lewego dłuższego ramienia trapezu ma zwrot do góry; dla krótszego w dół. Kąty między wektorami d s i wektorami siły ciężkości zostały oznaczone symbolem alfa. Natomiast kąt pomiędzy ramieniem 1-2 i podstawą 1-4 oznaczony jest symbolem beta.}

Wektor siły ciężkości, pokazany kolorem czerwonym, ma kierunek pionowy, a jego wartość wynosi \( mg \) {iloczyn masy m i przyspieszenia ziemskiego g} . Na pierwszym odcinku toru, od punktu 1 do punktu 2, zaznaczono elementarne przemieszczenie \( \vec{ds} \) {wektor d s} oraz kąt, jaki tworzy ono z kierunkiem siły ciężkości, analogicznie do oznaczeń na Rysunku 3.5.1.1. Wykorzystując wzór (3.5.1.1) możemy wyznaczyć wartość pracy \( W_{12} \) wykonanej przez siłę ciężkości na tym odcinku. Oznaczając przez \( s_{12} \) długość tego odcinka otrzymujemy

{Praca W _1_2 jest równa iloczynowi masy m, przyspieszenia ziemskiego g, długości odcinka s_1_2 i cosinusa kąta alfa, który równa się iloczynowi masy m, przyspieszenia ziemskiego g i cosinusa sumy kątów 90 stopni plus beta. To z kolei równa się minus iloczyn masy m, przyspieszenia ziemskiego g, długości odcinka s_1_2 i sinusa kąta beta, co jest równe minus iloczyn masy m, przyspieszenia ziemskiego g, długości odcinka s_1_2 i wysokości h podzielonej przez długość odcinka s_1_2}

Ostatecznie

{Praca W_1_2 jest równa minus iloczyn masy m, przyspieszenia ziemskiego g i wysokości h}

Zauważmy, że praca ta nie zależy od kąta nachylenia stoku. Na odcinku 3 - 4 wartość pracy będzie taka sama, ale znak będzie dodatni. W przypadku ruchu po poziomej części toru siła ciężkości nie wykonuje żadnej pracy, bowiem kierunek ruchu jest prostopadły do kierunku siły. Sumaryczna praca wyniesie więc

{Suma pracy W_1_2, W_2_3, W_3_4 i W_4_1 jest równa minus iloczyn masy m, przyspieszenia ziemskiego g i wysokości h plus zero plus iloczyn masy m, przyspieszenia ziemskiego g i wysokości h plus zero, co równa się zeru}

Otrzymaliśmy bardzo ważny wynik. Praca siły grawitacji po torze zamkniętym jest równa zeru. Łatwo zauważyć, że wniosek ten pozostanie słuszny także i wtedy, kiedy tor będzie miał dowolny, skomplikowany kształt. Zawsze bowiem możemy rozłożyć tor na sumę dowolnie małych odcinków prostoliniowych sprowadzając problem do rozpatrzonego powyżej.

Z faktu zerowania się pracy na torze zamkniętym wynika inny ważny wniosek. Praca potrzebna na przemieszenie ciała pod wpływem siły ciężkości pomiędzy dwoma dowolnymi punktami nie zależy od kształtu drogi, a jedynie od położenia samych punktów.

Dla dowolnie wybranego toru możemy znaleźć drugi tor stanowiący jego dopełnienie do toru zamkniętego (Rysunek 3.6.2).

Rysunek 3.6.2. Praca po torze zamkniętym

{Dwa punkty A i B zostały połączone dwiema krzywymi, których początki znajdują się w punkcie A, a końce w punkcie B. Jeden z torów został nazwany 1, drugi 2}

Fakt zerowania się pracy na drodze zamkniętej zapiszemy w postaci:

{Suma pracy W_A_B_1 i pracy W_A_B_2 jest równa zeru}

Z drugiej strony, praca na tej samej drodze od punktu A do B i od B do A różni się tylko znakiem, np.

{Praca W_A_B_2 jest równa minus praca W_B_A_2}

Biorąc pod uwagę obie te zależności znajdujemy, że 

{Praca W_A_B_1 jest równa pracy W_A_B_2}

W ruchu narciarza (i w większości innych ruchów) niebagatelną rolę odgrywają także siły oporu powietrza i siły tarcia przy poruszaniu się.

Siły tarcia i siły oporu ośrodka skierowane są zawsze przeciwnie do kierunku ruchu. Praca tych sił ma więc znak ujemny podczas całego ruchu. Sumaryczna praca po torze zamkniętym nie będzie więc dla tych sił równa zeru.

Jeśli praca wykonana przez siłę przy przemieszczeniu ciała po torze zamkniętym o dowolnym kształcie równa jest zeru, to siłę taką nazywamy siłą zachowawczą. Siłę, która nie spełnia tego warunku nazywamy siłą dyssypatywną lub rozpraszającą.

Przykładem siły zachowawczej jest siła ciężkości oraz siła sprężystości. Do sił dyssypatywnych zaliczamy siły tarcia i siły oporu powietrza.

W dalszej części kursu poznamy jeszcze inne przykłady obu rodzajów sił.