3. Dynamika

Siły bezwładności

Siły bezwładności obserwujemy w układach nieinercjalnych, czyli poruszających się z przyspieszeniem. Wartość siły bezwładności jest wprost proporcjonalna do przyspieszenia układu i masy ciała. Kierunek jej jest taki sam jak kierunek przyspieszenia układu, a zwrot jest przeciwny do niego, Siła bezwładności wyraża się wzorem:

{Wektor siły F_b jest równy minus iloczyn masy m przez wektor przyspieszenia a_ukł}

Siły bezwładności nazywamy siłami pozornymi, ponieważ nie są to realne oddziaływania między ciałami. Ich przyczyną jest przyspieszenie układu odniesienia. Występują tylko w układach nieinercjalnych. Obserwując to samo ciało z układu inercjalnego, można jego ruch wyjaśnić tylko działaniem sił rzeczywistych - siły bezwładności w tym opisie w ogóle nie występują.

Wyjaśnimy to na konkretnym przykładzie. Wyobraźmy sobie, że na podłodze autobusu leży piłka. Pasażer autobusu i nieruchomy obserwator znajdujący się poza autobusem opiszą zachowanie piłki w odmienny sposób.

Kiedy autobus jedzie ze stałą prędkością (układ inercjalny), piłka ma taką samą prędkość jak autobus i pozostaje względem autobusu w spoczynku. Kiedy autobus przyspiesza (układ nieinercjalny), jego prędkość rośnie, ale prędkość piłki pozostaje taka, jak poprzednio. W rezultacie nieruchomy obserwator patrzący na piłkę z zewnątrz widzi, że autobus „ucieka” spod piłki - piłka pozostaje z tyłu, nie działa na nią żadna siła.

Rysunek 3.4.1. Piłka w układzie inercjalnym

{Do autobusu zaczepione są dwa wektory o kierunku poziomym i zwrocie w prawo – wektory prędkości v i przyspieszenia a_ukł. Na piłkę nie działa żadna siła.}

Natomiast pasażer autobusu widzi, że piłka zaczyna toczyć się do tyłu i interpretuje ruch piłki względem autobusu, jako wynik działania siły bezwładności, działającej przeciwnie do przyspieszenia autobusu.

Rysunek 3.4.2. Piłka w układzie nieinercjalnym

{Do autobusu zaczepione są dwa wektory o kierunku poziomym i zwrocie w prawo – wektory prędkości v i przyspieszenia a_ukł. Do piłki znajdującej się w autobusie przyłożona jest siła F_b o kierunku poziomym i zwrocie w lewo.}

Przykład:

Oblicz siłę działającą na pasażera samochodu, który przy prędkości \( 60 km/h \) {60 kilometrów na godzinę} wpadł na drzewo. Strefa zgniotu w tym samochodzie wynosi \( 1m \), a masa pasażera \( 70kg \).

Rozwiązanie:

Zakładamy, że po uderzeniu w drzewo samochód porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem ujemnym (ruch opóźniony). Prędkość końcowa równa jest zero, droga przebyta podczas hamowania wynosi \( 1m \). Przyspieszenie samochodu obliczymy ze wzorów na prędkość końcową i drogę w ruchu jednostajnie opóźnionym.

\( v_k=v_0-at=0 \)

{Prędkość v_k jest równa różnicy prędkości początkowej v_0 oraz iloczynu przyspieszenia a i czasu t, zaś to z kolei jest równe 0}

\( s=v_0t-\frac{at^2}{2} \)

{Droga s równa się różnicy iloczynu prędkości początkowej v_0 i czasu t oraz połowy iloczynu przyspieszenia a przez kwadrat czasu t}

Z pierwszego wzoru obliczamy czas hamowania i wstawiamy do drugiego:

\( s=v_0\cdot\frac{v_0}{a}-\frac{a}{2}\cdot\left(\frac{v_0}{a}\right)^2=\frac{{v_0}^2}{2a} \Rightarrow \ a=\frac{{v_0}^2}{2s} \) 

{Droga s równa się różnicy iloczynu prędkości [początkowej v_0 przez iloraz prędkości początkowej v_0 i przyspieszenia a oraz iloczynu połowy przyspieszenia a przez kwadrat ilorazu prędkości początkowej v_0 i przyspieszenia a, co jest równe ilorazowi kwadratu prędkości początkowej v_0 przez dwukrotność przyspieszenie a. Stąd wynika, że przyspieszenie a jest równe ilorazowi kwadratu prędkości początkowej v_0 przez podwojoną drogę s}

Na pasażera w układzie nieinercjalnym (hamującym samochodzie) działa siła bezwładności skierowana do przodu równa.

\( F_b=m\cdot a=\frac{{{m\cdot v}_0}^2}{2s} \)

{Siła F_b jest równa iloczynowi masy m i przyspieszenia a, co jest równe ilorazowi iloczynu masy m i kwadratu prędkości [początkowej v_0 przez podwojoną drogę s}

Wstawiamy dane liczbowe: \( m = 70 kg \), \( v_0=60\ km/h=16,7\frac{m}{s} \) {v_0 jest równa 60 km na godzinę, co jest równe 16,7 metrów na sekundę}, \( s = 1m \) i otrzymujemy: \( F_b=9722\ N \), co odpowiada ciężarowi ciała o masie prawie 1 tony. Zauważmy, że siła ta jest wprost proporcjonalna do kwadratu prędkości początkowej, a więc dwukrotne zwiększenie prędkości skutkuje czterokrotnym zwiększeniem siły. Siła jest też odwrotnie proporcjonalna do drogi hamowania. Jeśli więc pojazd jest sztywny i podczas zderzenia odkształci się na przykład tylko o 10 cm, to siła bezwładności wzrośnie dziesięciokrotnie!

Innym przykładem jest przyspieszająca lub hamująca winda.

Rysunek 3.4.3. Winda poruszająca się w górę z przyspieszeniem \( a_w \)  lub w dół z opóźnieniem \( a_w \) 

{W windzie znajduje się skrzynia. Wektor przyspieszenia windy a_w ma kierunek pionowy i zwrot do góry. Do skrzyni zaczepione są 3 wektory mające kierunek pionowy. Wektor siły reakcji F_r ma zwrot do góry, a wektory siły bezwładności F_b i siły ciężkości F_g mają zwroty do dołu}

Kiedy winda rusza w górę z przyspieszeniem \( a_w \) (Rysunek 3.4.4), na skrzynię o masie m znajdującą się w niej, oprócz siły ciężkości \( F_g = mg \) {siła ciężkości F_g jest równa iloczynowi masy m i przyspieszenia ziemskiego g} , działa siła bezwładności \( F_b \) skierowana przeciwnie do przyspieszenia windy i równa \( m \cdot a_w \) . Całkowita siła przyciskająca skrzynię do podłogi wynosi więc: \( F=mg+ma_w \) {Siła F jest równa sumie iloczynu masy m i przyspieszenia ziemskiego g oraz iloczynu masy m i przyspieszenia windy a_w} i jest równa sile reakcji ze strony podłogi \( F_r \).

Rysunek 3.4.4. Winda poruszająca się w górę s opóźnieniem \( a_w \) lub w dół z przyspieszeniem \( a_w \) 

{W windzie znajduje się skrzynia. Wektor przyspieszenia windy a_w ma kierunek pionowy i zwrot do dołu. Do skrzyni zaczepione są 3 wektory mające kierunek pionowy. Wektor siły reakcji F_r i wektor siły bezwładności F_b mają zwroty do góry, a wektor siły ciężkości F_g ma zwrot do dołu}

W sytuacji, kiedy winda porusza się w górę z opóźnieniem \( a_w \) (Rysunek 3. 4. 4), siła bezwładności działa w górę i odejmuje się od siły ciężkości: \( F=mg-ma_w \) {Siła F jest równa różnicy iloczynu masy m i przyspieszenia ziemskiego g oraz iloczynu masy m i przyspieszenia windy a_w}  i jest równa sile reakcji ze strony podłogi \( F_r \).

Gdy winda będzie spadała swobodnie z przyspieszeniem ziemskim, wówczas wypadkowa siła działająca na pasażera znajdującego się w niej będzie równa zeru - pasażer będzie w stanie nieważkości.